随机过程数字特征
前置知识：随机变量的数字特征
本页面主要介绍随机过程数字特征
均值
对于任意的时刻 \(t\)，\(X(t)\) 是一个随机变量，把这个随机变量的均值定义为随机过程 的均值，记为 \(m_X(t)\)，即
\[m_X\left(t\right)=E\left[X\left(t\right)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X\left(x,t\right)\mathrm{d}x\]
对于离散时间随机过程（随机序列） \(X(n)\)，均值定义为
\[m_X\left(n\right)=E\left[X\left(n\right)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X\left(x,n\right)\mathrm{d}x\]
方差
随机过程的方差定义为：
\[\sigma_X^2(t)=\mathrm{Var}[X(t)]=E\{\begin{bmatrix}X(t)-m_X(t)\end{bmatrix}^2\}\]
可见，方差函数是非负函数，同时也可以表示为：
\[\sigma_X^2\left(t\right)=E{\left[X^2\left(t\right)\right]}-m_X^2\left(t\right)\]
对于离散时间随机过程（随机序列） \(X(n)\)，方差定义为
\[\sigma_X^2(n)=\mathrm{Var}[X(n)]=E\{\left[X(n)-m_X(n)\right]^2\}\]
自相关函数
定义
为了反映随机过程在不同时刻的随机变量的相关性，对任意两个时刻 \(t_1\)，\(t_2\)，定义：
\[R_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x_{1}x_{2}f_{X}(x_{1},x_{2},t_{1},t_{2})\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\]
为随机过程 \(X(t)\) 的自相关函数，通常简称相关函数。
当 \(t_{1}= t_{2}= t\) 时，\(R_{X}( t, t) = E[ X^{2}( t) ]\)。由均值的定义式可得，同一时刻之间的自相关函数为：
\[R_X(t,t)=\sigma_X^2(t)+m_X^2(t)\]
自相关函数 \(R_X(t_1,t_2)\) 可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。通常，\(t_1\)、\(t_2\) 相隔越远，相关性越弱，\(R_X(t_1,t_2)\)的绝对值也越小，当\(t_1=t_2=t\) 时，其相关性应是最强的， \(R_X(t_1,t_2)\) 最大。
对于离散时间随机过程（随机序列），自相关函数定义为：
\[
\begin{aligned}
R_{X}(n_{1},n_{2}) & =E\left[X\left(n_{1}\right)X\left(n_{2}\right)\right] \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x_{1}x_{2}f_{X}\left(x_{1},x_{2},n_{1},n_{2}\right)\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}
\end{aligned}
\]
性质
- 如果 \(R_X(t_1, t_2) = 0\)，则称 \(X(t_1)\) 与 \(X(t_2)\) 是相互正交的。
协方差函数
定义
相关性的描述除了用相关函数外，有时也用协方差函数。定义
\[C_{X}(t_{1},t_{2})=E\left\{\left[X(t_{1})-m_{X}(t_{1})\right]\left[X(t_{2})-m_{X}(t_{2})\right]\right\}\]
为随机过程 \(X(t)\) 的协方差函数。协方差函数也可表示为
\[
\begin{aligned}
C_X(t_1,t_2)&=E[X(t_1)X(t_2)]-m_X(t_1)m_X(t_2) \\
&={R_{X}(t_{1},t_{2})-m_{X}(t_{1})m_{X}(t_{2})}
\end{aligned}
\]
对于离散时间随机过程（随机序列），协方差函数定义为：
\[
C_X(n_1,n_2)=E\left\{\left[X(n_1)-m_X(n_1)\right]\left[X(n_2)-m_X(n_2)\right]\right\}
\]
性质
- 若 \(C_X(t_1, t_2) = 0\)，则称 \(X(t_1)\) 与 \(X(t_2)\) 是不相关的。
Warning
如果二维概率密度函数
\[f_X(x_1,x_2,t_1,t_2)=f_X(x_1,t_1)f_X(x_2,t_2)\]
则称随机过程在 \(t_1\) 和 \(t_2\) 时刻的状态是相互独立的。
相互独立、相互正交、不相关三者定义不同，需要区分。