随机过程功率谱
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定义
随机过程 \(X(t)\) 的一个样本函数 \(x(t)\) 是确定信号。\(x(t)\) 可以是功率信号，也可以是能量信号，在通信原理中，默认假设 x(t) 为功率信号。
确定信号 \(x(t)\) 的功率谱密度为：
其中 \(x_T(t)\) 是 \(x(t)\) 在 \(\left[ -T/2, T/2\right]\) 内的截短。
结合 \(X(t)\) 的每种样本函数 \(x(t)\) 的出现概率，对所有不同的功率谱密度函数取加权均值，可以得到 \(X(t)\) 的平均功率谱密度：
也可将 \(X(t)\) 的功率谱密度记为 \(P_X(f)\)。以下我们将不加区分地使用记号 \(\overline{P}_X(f)\) 和 \(P_X(f)\)，通常情况下，我们使用 \(P_X(f)\) 做为随机过程 \(X(t)\) 平均功率谱密度的记号。
性质
随机过程功率谱密度有如下性质：
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维纳-辛钦定理：\(\overline{R}_X(\tau)\Leftrightarrow{P}_X(f)\) 。
注意
\(\overline{R}_X(\tau)\) 是 \(R(t, t+\tau)\) 的时间平均。
在满足平稳随机过程，满足遍历性的情况下，时间平均自相关函数 \(\overline{R}_X(\tau)\) 与理论自相关函数 \(R_X(\tau)\) 相等。即：
\[ \overline R_X(\tau) = R_X(\tau) = R(t, t+\tau) \]此时维纳-辛钦定理为：
\[R_{X}\left(\tau\right)\leftrightarrow P_{X}\left(f\right)\] -
功率谱密度非负：\(P_X(f)\geqslant0\)。
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对于实随机过程，\({P}_X(f)\) 是实偶函数。
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随机过程的平均功率为
\[\overline{R}_X(0)=\overline{E[X^2(t)]}=\int_{-\infty}^\infty{P}_X(f)\:\mathrm{d}f={P}_X\] -
随机过程 \(X(t)\) 的样本函数 \(x(t)\) 通过传递函数为 \(H(f)\) 滤波器后成为 \(y(t)\)，\(X(t)\) 的随机性决定了输出的随机性，全体可能的 \(y(t)\) 构成了输出随机过程 \(Y(t)\) 的样本空间。输入输出样本函数的功率谱密度关系为
\[P_y(f)=P_x(f)\mid H(f)\mid^2\]两边取数学期望得到：
\[{P}_Y(f)={P}_X(f)\mid H(f)\mid^2\] -
若零均值随机过程 \(X(t)\) 、\(Y(t)\) 不相关，则 \(X(t)+Y(t)\) 的功率谱密度是各自功率谱密度之和：\(P_X(f)+{P}_Y(f)\)。
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若 \(X(t)\) 是零均值随机过程，\(m(t)\) 是功率谱密度为 \(P_m(f)\) 的确定功率信号，则 \(X(t)+m(t)\) 的功率谱密度是 \({P}_x(f)+P_m(f)\)。