随机过程互相关

本页面主要介绍两个随机过程之间互相关函数、互协方差函数的定义和性质

定义

给定两个随机过程 \(X(t), Y(t)\)，它们之间的互相关函数的定义为

\[R_{XY}(t_1,t_2)=E\left[X(t_1)Y(t_2)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf_{XY}(x,t_1,y,t_2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

类似的，可定义互协方差函数为：

\[C_{XY}(t_1, t_2) = E\left\{ \left[ X(t_1) - m_X(t_1) \right] \left[ Y(t_2) - m_Y(t_2) \right] \right\}\]

互相关函数和互协方差函数之间的关系是：

\[C_{XY}(t_1,t_2)=R_{XY}(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_Y(t_2)\]

性质

对于任意的 \(t_1\) 和 \(t_2\)，如果 \(R_{XY}(t_1,t_2)=0\)，则称 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 是相互正交的。

如果 \(C_{XY}(t_{1},t_{2})=0\)，则称 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 是不相关的。

可以证明，如果 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 是相互独立的，则一定是不相关的，但反之不一定成立。