随机变量数字特征
本页面主要介绍随机变量的数字特征
均值
定义
随机变量 \(X\) 的均值也称为数学期望，对于连续型随机变量，其定义为
\[E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X}\left(x\right)\mathrm{d}x\]
对于离散型随机变量，假定随机变量 \(X\) 有 N 个可能取值，各个取值的概率为 \(p_i = P\left(X=x_i\right)\), 则均值定义为
\[E\left(X\right)=\sum_{i=1}^{N}x_{i}p_{i}\]
此式表明，离散型随机变量的均值是概率加权和，所以，均值也称为统计平均值。
性质
-
\(E(cX)=cE(X)\)，其中 \(c\) 为常数。
-
\(E(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)\)，即 \(n\) 个随机变量之和 的均值等于各随机变量均值之和。
-
如果随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)；如果 \(E(XY)=0\)，称 随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 是正交的。
方差
定义
随机变量 X 的方差定义为
\[\mathrm{Var}(X)=E\{\begin{bmatrix}X-E(X)\end{bmatrix}^2\}\]
由数学期望的性质可知，上式可表示为
\[\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-E^2(X)\]
方差反映了随机变量 \(X\) 的取值偏离其均值的偏离程度或分散程度，\(\mathrm{Var}(X)\) 越大，则 \(X\) 的取值越分散。
性质
- \(\mathrm{Var}(c)=0\)，\(c\)为常数。
- \(\mathrm{Var}(cX) = c^2 \mathrm{Var}(X)\)，\(c\) 为常数。
- 对于 \(n\) 个相互独立的随机变量 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，有 \(\mathrm{Var}(X_1+X_2+\cdots+X_n)=\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)+\cdots+\mathrm{Var}(X_n)\)。
协方差
对于二维随机变量，均值和方差不能反映它们之间的相互关系，为此引入协方差和相关系数两个数字特征。
设有两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\)，定义
\[\operatorname{Cov}(X,Y)=E\left\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\right\}\]
为 \(X\) 与 \(Y\) 的协方差。也可表示为
\[\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\]
相关系数
定义
相关系数则定义为
\[r_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\]
性质
- \(\left| r_{XY}\right|\leqslant1\)。
- 当 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立时，\(r_{XY}= 0\)。
- \(\left|r_{XY}\right|=1\) 的充分必要条件是 \(X\) 与 \(Y\) 依概率 1 线性相关，即 \(P\left\{Y=aX+b\right\}=1\)，\(a\)、\(b\)为常数。
- \([E(XY)]^2\leqslant E(X^2)E(Y^2)\)，称该不等式为施瓦茨(Schwartz)不等式。