广义联合平稳
前置知识：随机过程互相关
定义
如果 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\) 是广义平稳随机过程，且互相关函数满足
\[R_{XY}(t_{1},t_{2})=R_{XY}(\tau)\:,\quad\tau=t_{1}-t_{2}\]
则称 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 是广义联合平稳的。除特别声明外，联合平稳通常是指广义联合平稳。
性质
联合平稳随机过程互相关函数有如下性质。
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\[R_{XY}(-\tau)=R_{YX}(\tau)\\C_{XY}(-\tau)=C_{YX}(\tau)\]
证明
\[R_{XY}(-\tau)=E\bigl[X(t-\tau)Y(t)\bigr]=E\bigl[Y(t)X(t-\tau)\bigr]=R_{YX}(\tau)\]\[C_{XY}(-\tau)=R_{XY}(-\tau)-m_X m_Y = R_{YX}(\tau)-m_X m_Y = C_{YX}(\tau)\] -
\[|R_{XY}(\tau)|^2\leqslant R_X(0)R_Y(0)\]\[2R_{XY}(\tau)\leqslant R_X(0)+R_Y(0)\]\[|C_{XY}(\tau)|^2\leqslant\sigma_X^2\sigma_Y^2\]
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若 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 是联合平稳的，则 \(Z(t)=X(t)+Y(t)\)是平稳的，且
\[R_Z(\tau)=R_X(\tau)+R_Y(\tau)+R_{XY}(\tau)+R_{YX}(\tau)\]如果 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 不相关，则
\[R_Z(\tau)=R_X(\tau)+R_Y(\tau)+2m_Xm_Y\]如果 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 相互正交，则
\[R_Z(\tau)=R_X(\tau)+R_Y(\tau)\]