平稳随机过程

前置知识：随机过程数字特征

本页面主要介绍平稳随机过程的定义和性质

定义

狭义平稳随机过程

如果随机过程 \(X(t)\) 的任意 \(N\) 维分布不随时间起点的不同而变化，即当时间平移 \(c\) 时，其任意的 \(N\) 维概率密度不变化，则称 \(X(t)\) 是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳随机过程。

根据定义，狭义平稳随机过程的任意 \(N\) 维概率密度应满足：

\[f_{X}(x_{1},\cdots,x_{N},t_{1}+c,\cdots,t_{N}+c)=f_{X}(x_{1},\cdots,x_{N},t_{1},\cdots,t_{N})\]

广义平稳随机过程

如果随机过程 \(X(t)\) 的均值为常数，自相关函数只与时间差 \(\tau=t_1-t_2\) 有关，即

\[\begin{aligned}&m_{X}\left(t\right)=m_{X}\\&R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=R_{X}\left(\tau\right)\quad(\tau=t_{1}-t_{2})\end{aligned}\]

则称随机过程 \(X(t)\) 是广义平稳的。

两者关系

严格平稳的随机过程必定是广义平稳的，但广义平稳的随机过程不一定是严格平稳的。

不过，在通常的电子系统中，遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程，其任意维分布都只有其一二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，通常只需考虑广义平稳性，满足广义平稳，可认为其同时满足严格平稳。

性质

某一时刻的数字特征

对于一维概率密度，其在狭义平稳下与时间 \(t\) 无关。

\[f_X(x,t)=f_X(x)\]

由于每个时刻一维概率密度分布相同，所以任意时刻 \(t\) 下，\(X(t)\) 的统计特征（如均值、方差等）均相同。

自相关函数

对于常用的二维概率密度，其在狭义平稳下为：

\[f_X(x_1,x_2,t_1,t_2)=f_X(x_1,x_2,\tau)\quad(\tau=t_1-t_2)\]

可见，对于\(x_1, x_2\)组合，狭义平稳下的二维概率密度只与 \(t_1\)，\(t_2\) 的时间差 \(\tau\) 有关，与 \(t_1,t_2\) 的具体取值无关。由于自相关函数是二维概率密度函数的积分，因此同样只与 \(t_1\) 和 \(t_2\) 的差值 \(\tau\) 有关。

严格平稳随机过程的自相关函数 \(R_X(\tau)\) 具有以下性质：

相关函数为偶函数：

\[R_X(-\tau) = R_X(\tau)\]
自相关函数 \(R_X(\tau)\) 在 \(\tau = 0\) 时有最大值，即

\[R_X(0)\geqslant\left|R_X(\tau)\right|\]

相应的，协方差函数 \(C_X(\tau)\) 也在 \(\tau = 0\) 处有最大值

\[C_X(0)\geqslant\left|C_X(\tau)\right|\]
如果随机过程 \(X(t)\) 中含有周期分量，那么自相关函数中也含有周期分量。

示例

例如对于

\[X(t)=A\cos(\omega_0t+\Phi)+N(t)\]

其中 \(A\) 和 \(\omega_0\) 为常数，\(\Phi\) 在 \((-\pi,\pi)\) 上均匀分布，\(N(t)\) 是与 \(\Phi\) 统计独立的平稳随机过程，则

\[R_X\left(\tau\right)=\frac{A^2}{2}\mathrm{cos}\omega_0\tau+R_N\left(\tau\right)\]

可见自相关函数中也包含周期分量。
一般说来，若随机过程 \(X(t)\)中不含周期分量，那么

\[\lim_{\tau\to\infty}R_X\left(\tau\right)=m_X^2\]
\(R_X(0)=\sigma_X^2+m_X^2\)

图像

结合前 5 条特性，可以绘制出自相关函数的示意图
相关函数具有非负定性，即对于任意 \(N\) 个复数 \(\alpha _1, \alpha _2, \cdots , \alpha _N\)，有

\[\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\alpha_{i}\:\alpha_{j}^{*}R_{X}(t_{i}-t_{j})\geqslant0\]

式中的 \(*\) 号代表取复共轭，证明从略。