复平稳过程

前置知识：广义联合平稳

本页面主要介绍复平稳过程的定义

定义

设 \(X(t)\)、\(Y(t)\) 联合平稳，则称复随机过程 \(Z(t)=X(t)+\mathrm{j}Y(t)\) 为复平稳过程。

性质

自相关函数

\[R_Z(\tau)=E[Z^*(t)Z(t+\tau)]\]

功率谱密度

其功率谱密度是 \(R_z(\tau)\) 的傅氏变换。

注意

\(R_z(\tau)\) 可能是一个复值函数，但自相关函数求解式说明 \(R_{z}(\tau)\) 满足共轭对称性 \(R_z(\tau)=R_Z^*(-\tau)\)，这一点在频域对应着功率谱密度 \(P_z(f)\) 是实函数。\(R_z(\tau)\) 满足共轭对称性也意味着其实部 \(\mathrm{Re}\{R_z(\tau)\}\) 是 \(\tau\) 的偶函数，虚部 \(\mathrm{Im}\{R_z(\tau)\}\)是 \(\tau\) 的奇函数。

互相关函数

复随机过程 \(Z(t)\) 与其共轭过程 \(Z^*(t)\) 之间的互相关函数是

\[R_{Z^*Z}(t,t+\tau)=E[(Z^*(t))^*Z(t+\tau)]=E[Z(t)Z(t+\tau)]\]

实部与虚部关系

1. 若复随机过程 \(Z(t)\) 的自相关函数 \(R_Z(t, \tau) = E[Z^*(t)Z(t+\tau)]\)、共轭相关函数 \(R^*_Z(t, \tau) = E[Z(t)Z(t+\tau)]\) 都与 \(t\) 无关，则其实部 \(X(t)\) 与虚部 \(Y(t)\) 联合平稳。

   证明（不完整）

   \[ \begin{aligned} &X(t)=\mathrm{Re}\{Z(t)\}=\frac{Z(t)+Z^*(t)}{2} \\ &Y(t)=\mathrm{Im}\{Z(t)\}=\frac{Z(t)-Z^*(t)}{2\mathrm{j}} \end{aligned} \]

   将上式代入 \(E[X(t)X(t+\tau)],E[Y(t)Y(t+\tau)],E[X(t)Y(t+\tau)]\) 后可以验证其与 \(t\) 无关。

2. 任意零均值复随机过程 \(Z(t)={X}(t)+\mathrm{j}{Y}(t)\) 的实部 \(X(t)\) 与虚部 \(Y(t)\) 是零均值的实随机过程。

3. 设零均值复平稳过程 \(Z(t)\) 共轭不相关，即 \(E[Z(t)Z(t+\tau)]=0\)。

   证明（不完整）

   \[ \begin{aligned} &X(t)=\mathrm{Re}\{Z(t)\}=\frac{Z(t)+Z^*(t)}{2} \\ &Y(t)=\mathrm{Im}\{Z(t)\}=\frac{Z(t)-Z^*(t)}{2\mathrm{j}} \end{aligned} \]

   代入上式

   \[\begin{aligned}&R_{X}\left(\tau\right)=R_{Y}\left(\tau\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\{R_{Z}\left(\tau\right)\}\\&R_{XY}\left(\tau\right)=R_{YX}\left(-\tau\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Im}\left\{R_{Z}\left(\tau\right)\right\}\\\end{aligned}\]

   其中的 \(R_X(\tau)\) 是偶函数，\(R_{XY}(\tau)\) 是奇函数。\(R_{XY}(\tau)\) 是奇函数说明 \(R_{XY}(0)=E[X(t)Y(t)]=0\)，即 \(X(t)\) 、\(Y(t)\)在同一时刻不相关。