常见随机分布

本页面主要介绍常见的随机分布

连续型随机分布

正态分布

若随机变量 \(X\) 的概率密度为：

\[f_X\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{exp}\left[-\frac{\left(x-m\right)^2}{2\sigma^2}\right]\]

其中 \(m\) 、\(\sigma\) 为常数，则称 \(X\) 服从正态分布，正态分布通常也简记为 \(N(m ,\sigma^2)\) 。均值为 0, 方差为 1 的正态分布 \(N(0,1)\) 称为标准正态分布。正态分布随机变量的概率密度是一个高斯曲线，所以又称为高斯随机变量，概率密度曲线如上图所示。

正态分布函数为

\[F_X\left(x\right)=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{\left(u-m\right)^2}{2\sigma^2}\right]\mathrm{d}u\]

标准正态分布函数通常用 \(\Phi(x)\) 表示，即

\[\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{u^2}{2}\Bigr)\:\mathrm{d}u\]

均匀分布

如果随机变量 \(X\) 的概率密度函数为

\[f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}&(a<x<b)\\0&\text{(其他)}\end{cases}\]

则称 \(X\) 在区间 \((a,b)\) 上服从均匀分布，概率密度曲线如图所示。

瑞利分布

如果随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f_{X}\left(x\right)=\begin{cases}\dfrac{x}{\sigma^{2}}\exp\left(-\dfrac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right)&(x\geqslant0)\\0&(x<0)\end{cases}\]

其中 \(\sigma\) 为常数，则称 \(X\) 服从瑞利分布，概率密度曲线如图所示。

指数分布

如果随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f_X(x)=\begin{cases}\lambda\exp(-\lambda x)&(x\geqslant0)\\0&(x<0)\end{cases}\]

其中 \(\lambda\) 为常数，则称 \(X\) 服从指数分布，概率密度曲线如图所示。