LC 谐振回路
前置知识：品质因数
本页面主要介绍LC串联与并联谐振回路的定义和性质
LC 串联谐振回路
LC 串联谐振回路的基本形式如图所示
电路由电感、电容构成，电阻为中低频时电感所具有的电阻。回路的阻抗可以计算为
\[Z_s=r+ j(X_{L}-X_{C})=R+ j(\omega L-\frac{1}{\omega C})=r+ j(2\pi fL-\frac{1}{2\pi fC})\]
谐振
当频率值达到一个特定的值：
\[2{\pi}f_{r}L-\frac{1}{2{\pi}f_{r}C}=0\]
此时电路中由电容与电感所引致的相移效应互相抵消，因此电路中的总电抗为零。电路可等效为一个纯电阻性电路。在这种情况下，我们称电路在输入信号的频率下谐振，而这时的输入频率称为谐振频率。
\[f_{0}=\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\]
也可以用谐振角频率 \(\omega_0\) 表示：
\[\omega_0 = \frac{1}{LC}\]
谐振时回路最大的原因
在一个基本RLC电路中，电容和电感与电阻不同，它们属于电抗性元件，可将电路中的能量分别以电场和磁场的形式储存起来，当有需要的时候再释放给电路使用。如图3所示，当电路谐振时，在时段 t1 至 t2 之间，电感从电路中所吸收的能量恰好与电容释放到电路中的能量相等；而在时段 t2 至 t3 之间，情况刚好相反。因此，由电源所提供的全部能量都会传送到电阻上，电路中的电流因而达到最大值。
那么，谐振时的空载回路电流即为所有频率下的最大值，为：
\[\dot{I}=\dot{I}_0=\frac{\dot{V}_s}r\]
谐振时，电感上的电压为：
\[\dot{V}_\mathrm{L}=\mathrm{j}\omega_0L\dot{I}_0=\mathrm{j}\omega_0L\frac{\dot{V}_\mathrm{s}}{r}\]
根据品质因数的定义，在谐振时，电感的空载品质因数可解得：
注
其中，½来自于加载电源为正弦信号，所以计算能量和功率时减半
\[
\begin{aligned}
Q_0 &=\omega \times\frac{\text{电路中储存的能量}}{\text{损耗功率}} \\
&= \frac{\omega_0LI^2/2}{rI^2/2}=\frac{\omega_0L}{r}=\frac{1}{\omega_0Cr}=\frac{\sqrt{L/C}}{r}
\end{aligned}
\]
LC 并联谐振回路
LC 并联谐振回路的基本形式、等效形式如图所示
从基本形式中，可以求得回路阻抗
\[
Z_\mathrm{p}=\frac{(r+X_L)X_C}{r+X_L + X_C} = \frac{(r+\mathrm{j}\omega L)\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}}{r+\mathrm{j}\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}
\]
由于在工程中，\(\omega L\gg r\)，所以可以认为，\(r+\mathrm{j}\omega L \approx \mathrm{j} \omega L\)，因此得到化简后的阻抗：
\[Z_\mathrm{p}\approx\frac{L / C}{r+\mathrm{j}\bigg(\omega L-\frac{1}{\omega C}\bigg)}=\frac{1}{\frac{Cr}{L}+\mathrm{j}\bigg(\omega C-\frac{1}{\omega L}\bigg)}\]
其倒数为回路的导纳：
\[Y_{_p}=\frac{1}{Z_{_p}}=\frac{Cr}{L}+\mathrm{j}\Bigg(\omega C-\frac{1}{\omega L}\Bigg)\]
因此，可以等效电路为理想电容 \(C\)，理想电感 \(L\) 和等效电阻 \(R_p = \dfrac{L}{C r}\) 并联构成的回路。
与串联谐振回路相似，当频率为指定值时，容抗和感抗相等，系统的阻抗为纯阻态，且回路电流最小，此时谐振频率为：
\[f_0=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}\]
也可以用谐振角频率表示：
\[\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}\]
此时，电感的空载品质因数为
\[Q_0=\frac{\omega_0L}r=\frac{1}{\omega_0Cr}=\frac{R_\mathrm{p}}{\omega_0L}=\omega_0R_\mathrm{p}C\]
流过电容的电流可以求得：
\[
\dot{I}_{\mathrm{C}}= \dot{V}_{\mathrm{p}} / X_C
=\dot{I}_{\mathrm{s}} R_{\mathrm{p}}/\frac{1}{\mathrm{j}\omega_{0}C}
=\mathrm{j}\frac{\omega_{0}L}{r}\dot{I}_{\mathrm{s}}=\mathrm{j}Q_{0}\dot{I}_{\mathrm{s}}\]
流过电感的电流可以表示为：
\[
\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{L}} &= \frac{\dot{V}_{\mathrm{p}}}{r+X_L} = \frac{\dot{V}_{\mathrm{p}}}{r+\mathrm{j}\omega_{0}L}\approx\frac{\dot{V}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{j}\omega_{0}L} =-\mathrm{j}\frac{\dot{I}_{\mathrm{s}}R_{\mathrm{p}}}{\omega_{0}L}=-\mathrm{j}Q_{0}\dot{I}_{\mathrm{s}}
\end{aligned}
\]
可以发现 \(\dot{I}_{\mathrm{L}} = - \dot{I}_{\mathrm{C}}\)，两者大小相等，相位相反，所以并联谐振也称为电流谐振。
性质对比
串、并联谐振回路特性对比如下
部分接入
在实际的电路和选品系统中，谐振电路与信号源和负载相连接，存在信号源内阻和负载电阻：
在这种情况下的 Q 值可以求解为：
\[\begin{cases}Q_{\mathrm{L}\text{串联}}=\frac{\omega_{0}L}{R_{\mathrm{s}0}+R_{\mathrm{L}}+r}\\\\Q_{\mathrm{L}\text{并联}}=\frac{1}{\omega_{0}L(G_{\mathrm{s}0}+G_{\mathrm{L}}+G_{\mathrm{p}})}\end{cases}\]
可以发现在串、并联情况下，负载和信号源内阻会降低回路的品质因数 Q。
所以，为了提高回路的 Q 值，可以部分接入来降低有功功率，以提高回路品质因数 Q。
自耦变压器耦合连接方式
对并联谐振回路，将原电感 L 分割为 L1, L2 两个电感，并在 L2 上并联负载电阻 \(R_L\)。
通常、电感支路满足高Q值条件，\(R_{_\mathrm{L}}\gg\omega_{0}L_{2}\)，所以可得负载两端电压：
\[\dot{V}_\mathrm{L}\approx\frac{\omega_0L_2}{\omega_0(L_1+L_2)}\dot{V}=\frac{N_2}{N}\dot{V}\]
通过电感品质因数的定义，无功功率比有功功率，可得到：
\[R_\mathrm{L}^{\prime}=\left(\frac{L}{L_2}\right)^2\cdot R_\mathrm{L}\]
令\(p=\frac{L_{2}}{L}\approx\frac{N_{2}}{N}\)（电容比、匝数比），p 称为接入系数，易知\(p\leqslant1\),且
\[R_\mathrm{L}^{\prime}=\frac{R_\mathrm{L}}{p^2}\]
由上式可知，\(R_{\mathrm{L}}^{\prime}>{R}_{\mathrm{L}}\)，p 越小，\(R_\mathrm{L}^{\prime}\) 越大，对谐振回路的影响越小。
电容分压耦合
对并联谐振回路，将原电容 C 分割为 C1, C2 两个电感，并在 C2 上并联负载电阻 \(R_L\)。
同理，采用分压来计算，可以得到接入系数 \(p=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}\)
接入后的电路等效参数
使用接入系数推广到更多元件的等效变换，可以得到：
\[\begin{cases}g_\mathrm{L}'=p^2g_\mathrm{L} \\ X_\mathrm{L}'=\frac{X_\mathrm{L}}{p^2}\\C_\mathrm{L}'=p^2C_\mathrm{L}\\I_\mathrm{s}'=pI_\mathrm{s}\\V_\mathrm{s}'=\frac{V_\mathrm{s}}{p}\end{cases}\]
例题：求解品质因数和电压参数
设图中，\(\dot{I}_s=1\)mA,\(L=100\)μH,\(C_{_1}=C_{_2}=200\mathrm{pF}\)，\(R_{_{\mathrm{s}0}}=100k\Omega\)，\(R_{_\mathrm{L}}=50\)k\(\Omega\)，电感的无感品质因数\(Q_0=100\)，电感的损耗电阻 \(r\) 为 \(10\Omega\)，电感为中心抽头。试计算回路总的品 质因数、谐振回路两端的电压 \(v\) 和负载两端的电压\(\dot{V}_{\mathrm{o}}\)。
求解
左侧按照电感耦合方式等效，右侧按照电容分压耦合进行等效，可以得到两个接入系数 p与等效电阻的大小：
\[\begin{aligned}
&p_{\mathrm{L}}=p_{\mathrm{C}}=0.5 \\
&R_{\mathrm{s}0}^{\prime}=R_{\mathrm{s}0}/p_{\mathrm{L}}^{2}=400\mathrm{k}\Omega \\
&R_{\mathrm{L}}^{\prime}=R_{\mathrm{L}}/p_{\mathrm{C}}^{2}=200\mathrm{k}\Omega
\end{aligned}\]
将电感\(L\)上的损耗电阻等效至回路两端，有
\[R_{\mathrm{p}}=Q_{0}\omega_{0}L=Q_{0}\sqrt{L/C}=100\mathrm{k}\Omega \]
回路两端总的并联等效电阻为
\[R=R_{\mathrm{s}0}^{\prime}//R_{\mathrm{L}}^{\prime}//R_{\mathrm{p}}=57\mathrm{k}\Omega \]
回路总的品质因数为
\[Q=\frac{R}{\omega_0L}=R\sqrt{C\:/\:L}=57\]
回路两端电压为
\[\dot{V}=\dot{I}_s'R=p_\text{L}I_sR=0.5\times1\times10^{-3}\times57\times10^3\text{V}=28.5\text{V}\]
负载\(R_\mathrm{L}\)上电压为
\[\dot{V}_\mathrm{o}=p_\mathrm{C}\dot{V}=0.5\times28.5\mathrm{V}=14.25\mathrm{V}\]
参考资料与注释