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非线性元件的频率变换

前置知识:双极性晶体管

本页面主要以双极性晶体管为例,介绍非线性元件引发的频率变换和影响。

原理

双极性晶体管的转移特性(集电极电流与输入电压之间关系)存在非线性关系,可以使用指数函数来近似,公式为

\[i_C \approx I_s \ \mathrm{e}^{\frac{V_{BE}}{V_T}}\]

详细定义请参考双极性晶体管文档内容

由于指数函数分析难度大,通常需要将该非线性关系转换成为易于分析的函数,因此,在静态工作点 \(V_{BE} = V_{BEQ}\) 处做泰勒(Taylor)级数展开,可以得到如下幂级数

\[i_C = a_0 + a_1(v_{BE} - V_{BEQ}) + a_2 (v_{BE} - V_{BEQ})^2 + a_3 (v_{BE} - V_{BEQ})^3 + \dots \]

式子中 a 为常系数,\(a_n = \dfrac{1}{n !} \times \dfrac{d^n i_C}{d v^n_{BE}} \Bigg|_{v_{\mathrm{BE}}=V_{\mathrm{BEQ}}},n=0,1,\cdots\) ,一般来说n取值越大,a 值越小

进一步取交流分量\(v_{BE} = v_i + V_{BEQ}\),可得

\[i_C = a_0 + a_1 v_i + a_2 v_i^2 + a_3 v_i^3 + \dots\]

影响

高次谐波

设进入系统的是单频余弦波,即 \(v_\mathrm{i}(t) = V_{\mathrm{im}} \cos \omega_i t\)。一般来说,只考虑三次方以内的幂次,忽略更高幂次项。展开计算可得:

\[ \begin{aligned} \text{ic}& =a_0+a_1v_\mathrm{i}+a_2v_\mathrm{i}^2+a_3v_\mathrm{i}^3 \\ &=a_0+a_1V_\mathrm{im}\cos\omega_\mathrm{i}t+a_2(V_\mathrm{im}\cos\omega_\mathrm{i}t)^2+a_3(V_\mathrm{im}\cos\omega_\mathrm{i}t)^3 \\ &=\left( a_{0} +\frac{1}{2} a_{2}V_{\mathrm{im}}^{2} \right)+\left( a_{1}V_{\mathrm{im}} +\frac{3}{4} a_{3}V_{\mathrm{im}}^{3} \right)\cos\omega_{\mathrm{i}}t+\frac{1}{2} a_{2}V_{\mathrm{im}}^{2}\cos2\omega_{\mathrm{i}}t+\frac{1}{4} a_{3}V_{\mathrm{im}}^{3}\cos3\omega_{\mathrm{i}}t \end{aligned} \]

可见,单频波通过双极性晶体管系统时,会产生基波(同频分量)的2次3次谐波(倍频分量)。

增益压缩

在高次谐波的求解中,可以发现,基波分量为:

\[i_1=\Bigg(a_1V_\text{im}+\frac{3}{4}a_3V_\text{im}^3\Bigg)\cos\omega_\text{i}t=\Bigg(a_1+\frac{3}{4}a_3V_\text{im}^2\Bigg)v_\text{i}\]

根据跨导1的定义,平均跨导为:

\[\stackrel{-}{g}_{\mathrm{m}}=\frac{i_{i}}{v_{\mathrm{i}}}=a_{1}+\frac{3}{4} a_{3}V_{\mathrm{im}}^{2}\]

其与泰勒展开后公式中的 \(a_1\) 存在失真项,对于 \(a_3\) 正负有两种情况:

  1. \(a_3 > 0\)\(\overset{-}{\operatorname*{g}}_{\mathrm{m}}=a_1+\frac{3}{4}a_3V_{\mathrm{im}}^2>a_1\) ,这种现象被称为增益扩张

  2. \(a_3 < 0\)\(\overset{-}{\operatorname*{g}}_{\mathrm{m}}=a_1+\frac{3}{4}a_3V_{\mathrm{im}}^2<a_1\), 这种现象被称为增益压缩

下图是线性增益与非线性增益曲线的示意图2

1dB

通常情况下,非线性元件的影响是增益压缩,因此,为了方便衡量近似线性区域的范围,规定实际增益比线性增益跌落1dB的位置,称为1dB增益压缩点

1dB增益压缩点越高,表示线性度越好,非线性越不明显,通常情况下元器件品质越好。

参考资料与注释