高斯白噪声

本页面主要介绍高斯白噪声的定义和性质

定义

令 \(n_B(t)\) 为零均值平稳高斯过程，其功率谱密度为

\[P_{n_B}(f)=\begin{cases}\dfrac{N_0}{2},&\mid f\mid\leqslant B\\[2ex]0,&\mid f\mid>B\end{cases}\]

高斯白噪声 \(n_\mathrm{w}(t)\) 定义为如下极限：

\[n_w(t)=\lim_{B\to\infty}n_B(t)\]

其功率谱密度和自相关函数分别为

\[ \begin{aligned} &P_{{n_w}}(f)=\frac{N_0}2,\quad-\infty<f<\infty \\ &R_{{n_w}}(\tau)=\frac{N_0}2\delta(\tau) \end{aligned} \]

需要注意的是，高斯白噪声的均值是 0 ，功率（方差）是无限大。

性质

高斯白噪声通过滤波器

设有滤波器，其冲激响应为 \(h(t)\)，传递函数为 \(H(f)\) ，冲激响应的能量为\(E_h\)，即：

\[E_h\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}h^2\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}\:\mid\:H(f)\:\mid^2\mathrm{d}f\]

高斯白噪声 \(n_\mathrm{w}(t)\) 通过该滤波器后的输出是

\[n(t)=\int_{-\infty}^{\infty}n_{\mathrm{w}}(\tau)h(t-\tau)\:\mathrm{d}\tau\]

\(n_\mathrm{w}(t)\) 是零均值平稳高斯过程，经过滤波器之后的输出 \(n(t)\) 也是零均值平稳高斯过程，其功率谱密度为

\[P_n(f)=\frac{N_0}{2}|H(f)|^2\]

任意时刻的功率为

\[E[n^2\left(t\right)]=\int_{-\infty}^{\infty}P_{n}\left(f\right)\mathrm{d}f=\frac{N_{0}}{2}\cdot E_{h}\]

若 \(H(f)\) 是带宽为 B、增益为 1 的理想低通或带通滤波器，输出噪声的功率是

\[E[n^2(t)]=2\int_0^\infty P_n(f)\:\mathrm{d}f=N_0B\]

注意带宽的定义只计入正频率部分。

同时可证高斯白噪声在不同子频带上的分量相互独立。

确定信号内积

设 \(g(t)\) 是能量为 \(E_n\) 的确定信号。高斯白噪声与确定信号 \(g(t)\) 的内积为

\[Z=\int_{-\infty}^{\infty}n_{\mathrm{w}}(t)g(t)\:\mathrm{d}t\]

也称 \(Z\) 为 \(n_\mathrm{w}(t)\) 与 \(g(t)\) 的相关值，或者 \(n_\mathrm{w}(t)\) 在 \(g(t)\) 上的投影。

取 \(t=0,h(t)=g(-t)\) 代入下式

\[n(t)=\int_{-\infty}^{\infty}n_{\mathrm{w}}(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]

便得到内积表达式，相当于通过 \(g(-t)\) 滤波器，因此 \(Z\) 是零均值高斯随机变量，其方差为

\[\sigma_Z^2=\frac{N_0}2E_g\]

包络、相位特征

\(A\) 服从瑞利分布，其概率密度函数为

\[p_A(a)=\frac a{\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{a^2}{2\sigma^2}},\quad a\geqslant0\]

其中 \(\sigma^2=E[n_{\mathrm{c}}^2(t)]=E[n_{\mathrm{s}}^2(t)]=E[n^2(t)]\)。

\(\varphi\) 在 \([0,2\pi]\) 内均匀分布

证明（不完整）

结合同相分量、正交分量的定义，将直角坐标表示的 \(n_\mathrm{c} (t) +\)j\(n_\mathrm{s} (t)\) 变换到极坐标就是 \(A(t)\mathrm{e}^\mathrm{i\varphi}(t)\)。对于固定的 \(t\)，随机变量 \(A\)，\(\varphi\) 是随机变量 \(n_\mathrm{c}\)、 \(n_\mathrm{s}\) 的函数。当 \(n_\mathrm{c}\)、 \(n_\mathrm{s}\) 为独立同分布的零均值高斯随机变量时，根据概率论教材可知：\(\varphi\) 在 \([0,2\pi]\) 内均匀分布，\(A\) 服从瑞利分布。

窄带噪声叠加余弦波

前述的窄带高斯噪声 \(n(t)\) 叠加一个余弦波后成为 \(X(t)=n(t)+A_0\cos2\pi f_\mathrm{~c}t\)，其复包络是 \(X_{\mathrm{L}}(t)=[A_0+n_{\mathrm{c}}(t)]+\mathrm{j}n_{\mathrm{s}}(t)\)，包络为：

\[A(t)=\left[ X_{L}(t) \right]=\sqrt{ \left[A_0+n_{\mathrm{c}}(t)\right]^2+n_s^2(t)}\]

可以证明，随机变量 \(A\) 服从莱斯分布，其概率密度函数为

\[p_A(a)=\frac a{\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{a^2+A_0^2}{2\sigma^2}}I_0\left(\frac{A_0 a}{\sigma^2}\right)\]

其中 \(I_0(\bullet)\) 是零阶修正贝塞尔函数。当 \(A_0=0\) 时，莱斯分布退化为瑞利分布。当\(A\)很大时，包络 \(A(t)\) 近似等于 \(A_0+n_{\mathrm{c}}(t)\)，此时 \(A\) 近似服从均值为 \(A_0\)，方差为 \(\sigma^2\) 的高斯分布。