解析信号
前置知识：希尔伯特变换
本页面主要介绍解析信号的定义和性质
定义
以 \(x(t)\) 为实部，以 \(\hat{x}(t)\) 为虚部所构造的复信号称为解析信号：
\[z(t)=x(t)+\mathrm{j}\hat{x}(t)\]
性质
频谱
可以将 \(z(t)\) 看成是 \(x(t)\) 通过了一个传递函数为 \(H(f)=1+\mathrm{j}[-\mathrm{j}~\mathrm{sign}(f)]=1+\mathrm{sign}(f)\) 的滤波器之后的输出，因此 \(z(t)\) 的幅度频谱是
\[Z(f)=\begin{cases}2X(f),&f>0\\0,&f<0\end{cases}\]
功率谱为：
\[
P_z(f)=
\begin{cases}
4P_n(f),f>0 \\
0,\quad f<0 &
\end{cases}
\]
即解析信号只有正频率分量。反之也可以证明，若某个信号只有正频率分量，则它是解析信号，其虚部是实部的希尔伯特变换。
\(z(t)\) 的共轭 \(z^*(t)\)，\(z(t)\) 与 \(z^*(t)\) 正交，并且除了频率轴反转外，有相同的能量或功率谱密度。
自相关函数
\(z(t)\) 的自相关函数为：
\[
R_z(\tau)=E\left[z^*(t)z(t+\tau)\right]=F^{-1}\left[P_z(f)\right]=2\left[R_n(\tau)+\mathrm{j}\hat{R}_n(\tau)\right]
\]