双边带抑制载波调幅

本页面主要介绍双边带抑制载波调幅（DSB-SC）的定义、性质和解调方式

定义

DSB-SC

将均值为零的模拟基带信号 \(m(t)\) 与正弦载波 \(c(t) = A_c \cos\left( \omega_c t + \varphi_c \right)\) 相乘得到的 \(s(t)\) 称为双边带抑制载波调幅信号（DSB-SC）：

\[s(t)=m(t)\cdot c(t)=m(t)A_\mathrm{c}\cos(\omega_\mathrm{c}t+\varphi_\mathrm{c})\]

\(m(t), s(t)\) 波形如下所示：

DSB-SC波形

性质

频谱

通常，假定 \(\varphi_c = 0\)，设 \(m(t)\) 的傅里叶变换是 \(M(f)\)，可以得到 \(s(t)\) 的傅里叶变换 \(S(f)\) 为：

Tip

可见，新的频谱是原功率谱的左右搬移，并且两个的频谱都乘 \(A_c / 2\) 常数。

\[\begin{aligned}S(f)&=\frac{1}{2}\left[S_{\mathrm{L}}(f-f_{\mathrm{c}})+S_{\mathrm{L}}^{*}(-f-f_{\mathrm{c}})\right]\\&=\frac{A_{\mathrm{c}}}{2}\left[M(f-f_{\mathrm{c}})+M(f+f_{\mathrm{c}})\right]\end{aligned}\]

频谱绘制样例如下：

DSB-SC频谱

频谱满足共轭偶对称，其中，两个阴影部分 \(f_c < |f| < f_c + W\) 称为上边带，而另外两部分 \(f_c - W < |f| < f_c\) 则称为下边带。

由于规定 \(m(t)\) 均值为零，不含直流分量，因此 \(S(f)\) 中不含载波频率分量，这是其“抑制载波（Suppressed-carrier, SC）”的命名来源。

其频谱特点如下

无离散载波分量
带宽发生拓展，从原信号 W -> 2 W
上下边带携带相同的信息

功率谱

若 \(m(t)\) 的功率谱密度是 \(P_{{m}}(f)\)，则 DSB-SC 信号的功率谱密度为

Tip

可见，新的功率谱是原功率谱的左右搬移，并且两个的功率谱都乘 \(A_c^2 / 4\) 常数。

\[P_s(f)=\frac{A_c^2}{4}\left[P_m(f-f_c)+P_m(f+f_c)\right]\]

其图形上和 DSB-SC 信号的傅里叶变换 \(S(f)\) 相似，因为是 \(S(f)\) 平方。

信号总功率：

\[P_s=\frac{A_c^2}{2}P_M\]

解调方式

相干解调

DSB-SC相干解调

解调推导

设解调器输入是任意带通信号 \(r(t)=\operatorname{Re}\left\{r_{\mathrm{L}}(t)\mathrm{e}^{i2\pi f_{\mathrm{c}}t}\right\}\)，其中 \(r_\mathrm{L}(t)\) 是 \(r(t)\) 的复包络。可将 \(r(t)\) 改写成：

\[\begin{aligned}r(t)&=\mathrm{Re}\left\{r_{\mathrm{L}}\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{j}(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)}\right\}\\&=I(t)\cos{(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)}-Q(t)\sin{(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)}\end{aligned}\]

其中 \(\varphi\) 是载波提取电路所恢复的载波的初始相位，\(I(t)\) 和 \(Q(t)\) 分别是 \(r_\mathrm{L}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i\varphi}}\) 的实部和虚部。

\(r(t)\) 与恢复载波 \(\cos(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)\)相乘的结果是

\[\begin{aligned}r(t)\cos(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)&=I(t)\cos^{2}(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)-Q(t)\sin(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)\cos(2\pi f_{\mathrm{c}}t+\varphi)\\&=\frac{I(t)}{2}+\frac{I(t)}{2}\cos(4\pi f_{\mathrm{c}}t+2\varphi)-\frac{Q(t)}{2}\sin(4\pi f_{\mathrm{c}}t+2\varphi)\end{aligned}\]

最后两项不能通过低通滤波器，最后的输出是

\[y_0(t)=\frac12\mathrm{Re}\{r_\mathrm{L}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi}\}\]

当相干解调器的输入为 DSB-SC 信号时，

\[r(t)=s(t)=A_\text{c}m(t)\cos(2\pi f_\text{c}t+\varphi_\text{c})\]

其复包络是 \(r_{\mathrm{L}}(t)=A_{\mathrm{c}}m(t)\mathrm{e}^{{\mathrm{j}\varphi_{\mathrm{c}}}}\)，代入后得到

\[y_{\mathrm{o}}(t)=\frac{1}{2}A_{\mathrm{c}} m(t) \cos(\varphi_{\mathrm{c}}-\varphi)\]

若输入 DSB-SC 信号，其通过滤波器的输出为：

\[y_{\mathrm{o}}(t)=\frac{1}{2}A_{\mathrm{c}} ~ m(t) \cos(\varphi_{\mathrm{c}}-\varphi)\]

可见，恢复信号的强度由恢复载波和原信号的相位差决定，为了使恢复信号功率最大，应使恢复载波相位等于接收载波相位，此时称恢复载波与接收载波同步。如果某种解调方法需要恢复同步载波，则称为同步解调或相干解调。

恢复同步载波参考同步载波提取

抗噪声性能

信噪比推导

以理想同步的相干解调为例，根据解调推导，可以得到在 AWGN 信道下，解调器输出为

\[y_{\mathrm{o}}(t)=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left\{r_{\mathrm{L}}(t)\right\}=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left\{s_{\mathrm{L}}(t)\right\}+\frac{1}{2}n_{\mathrm{c}}(t)\]

DSB-SC 的已调信号为

\[s(t)=A_\text{c}m(t)\cos2\pi f_\text{c}t\]

其带宽是 \(B=2W\)，功率是 \(P_{\mathrm{R}}=\dfrac12A_{\mathrm{c}}^2P_{\mathrm{m}}\)。\(s(t)\) 的复包络是 \(A_{\mathrm{c}}m(t)\)，故解调输出为

\[y_0(t)=\frac{1}{2}[A_\text{c}m(t)+n_\text{c}(t)]\]

解调输出信噪比是 \(y_{\mathrm{o}}(t)\) 中有用信号的功率与噪声功率之比。上式中的系数 \(1/2\) 不影响信噪比，\(A_{\mathrm{c}}m(t)\) 的功率是 \(A_{\mathrm{c}}^2P_{\mathrm{m}}=2P_{\mathrm{R}}\)，\(n_{\mathrm{c}}(t)\) 的功率是 \(N_0B=2N_0W\) ,因此 DSB-SC 理想相干解调的输出信噪比为

\[\left(\frac{S}{N}\right)_{\mathrm{o}}=\frac{P_{\mathrm{R}}}{N_{0}W}\]

DSB-SC 信号的信噪比为：

\[\left(\frac{S}{N}\right)_{i_{DSB}}=\frac{A_c^2P_M}{4N_0W}\]

DSB-SC 理想相干解调的输出信噪比为

\[\left(\frac{S}{N}\right)_{o_{DSB}}=\frac{A_c^2 P_m}{2 N_{0}W}\]

调制制度增益 \(G\)：

\[G=\frac{\left(\frac{S}{N}\right)_{o_{DSB}}}{\left(\frac{S}{N}\right)_{i_{DSB}}}=2\]