单边带调制

前置知识：双边带抑制载波调幅

本页面主要介绍单边带调制的定义和解调方式

定义

单边带调制

双边带调制（包括 DSB-SC 以及 AM）的频谱有两个对称的边带，使其带宽是基带信号带宽的 2 倍。为了节约信号传输中对信道带宽的占用，可以去除其中一个边带来传输，这种方式就是单边带（SSB）调制，如下图所示。

注意

加载载波为 \(2 A_c \cos 2 \pi f_c t\)，其幅值为 DSB-SC 载波 \(A_c \cos 2 \pi f_c t\) 的 2 倍。目的是加倍单边带的幅值，让最终解调输出和 DSB-SC 解调输出结果一致。

滤波结果推导（不完整）

以获取上边带信号为例，边带滤波器的传递函数为：

\[H(f)=\begin{cases}1,\mid f\mid\geqslant f_\mathrm{c}\\0,\mid f\mid<f_\mathrm{c}\end{cases}\]

边带滤波器的输入是 DSB-SC 信号 \(2 A_{\mathrm{c}}m(t)\cos2\pi f_{\mathrm{c}}t\)，其复包络是 \(2 A_{\mathrm{c}}m(t)\)。边带滤波器的等效基带传递函数为

\[H_\text{e}(f)=\begin{cases}1,f>0\\0,f<0\end{cases}\]

等效基带滤波器 \(H_{\mathrm{e}}(f)\) 的输出是上单边带信号 \(s(t)\) 的复包络。

可将 \(H_{\mathrm{e}}(f)\) 改写成下面的形式：

\[H_{\mathrm{e}}(f)\:=\:\frac{1}{2}[1\:+\:\mathrm{sgn}(f)\:]\:=\:\frac{1}{2}\:+\:\frac{\mathrm{j}}{2}[-\mathrm{jsgn}(f)\:]\]

注意 \(-\mathrm{j} ~ \mathrm{sgn} (f)\) 是希尔伯特变换。因此等效基带滤波器的输出信号是

\[s_\mathrm{L}(t)\:=\:A_\mathrm{c}m(t)\:+\:\mathrm{j}\:A_\mathrm{c}m(t)\]

通过滤波器，可得到上单边带信号（USB）的时域表达式为

\[s_{上}(t)=A_\text{c}m(t)\cos2\pi f_\text{c}t-A_\text{c}m(t)\sin2\pi f_\text{c}t\]

滤波器和频谱图像如下：

同理可得下单边带信号（LSB）下单边带信号的时域表达式为

\[s_\text{下}(t)=A_\text{c}m(t)\cos2\pi f_\text{c}t+A_\text{c}m(t)\sin2\pi f_\text{c}t\]

滤波器和频谱图像如下：

根据如上 2 个公式，可得到单边带调制信号的又一产生方法，如下图所示。

残留边带调制

由于 SSB 解调所需的边带滤波器在 \(f=f_{\mathrm{~c~}}\) 处有陡峭的频率特性，不是现实可实现的。

考虑到滤波器的可实现性，完全保留一个边带、滤除另一个边带是很难实现的，只能让另一个边带有所残留，这种方式称为残留边带（VSB）调制。调制框图如下图所示：

示例 上边带残留的下边带滤波器 \(H(f)\) 如下图所示：

示例 下边带残留的上边带滤波器 \(H(f)\) 如下图所示：

其必须要满足的特征是，\(k\) 为任意正实数：

\[H(f+f_c)+H(f-f_c)= k, f \in [-W, W]\]

即频谱搬移到基带重合相加后，0 频率附近的幅频特性恰好为一个常数。

证明

残留边带调幅的相干解调器仍然与 DSB-SC 相同，为了得到与 DSB-SC 一致的解调输出，需要 VSB 信号的复包络 \(s_\mathrm{L}(t)\) 的实部为 \(A_\mathrm{c}m(t)\)，即

\[\mathrm{Re}\left\{s_\mathrm{L}\left(t\right)\right\}=\frac{s_\mathrm{L}\left(t\right)+s_\mathrm{L}^*\left(t\right)}{2}=A_\mathrm{c}m\left(t\right)\]

根据带通信号等效基带分析的原理，\(s_L( t)\) 是 \(A_\mathrm{c} m( t)\) 通过一个传递函数为 \(H_{\mathrm{e} }( f)\) 的低通滤波器的输出。\(H_{\mathrm{e}}(f)\) 与 \(H(f)\) 的关系是：\(H(f)\) 的正频率部分是 \(H_\mathrm{e}(f)\) 右移，\(H(f)\) 的负频率部分是 \(H_\mathrm{e}^*(-f)\) 左移，即

\[H(f)=\begin{cases}H_\mathrm{e}\left(f-f_\mathrm{c}\right),&f>0\\H_\mathrm{e}^*\left(-f-f_\mathrm{c}\right),&f<0\end{cases}\]

也可以表示为：

\[\begin{cases}H_\mathrm{e}(f)=H_\mathrm{e}(f+f_\mathrm{c})\\H_\mathrm{e}^*(-f)=H(f-f_\mathrm{c})\end{cases}\quad|f|\leqslant f_\mathrm{c}\]

\(s_{{\mathrm{L}}}(t)\) 的频谱是 \(S_{\mathrm{L}}(f)=A_{\mathrm{c}}M(f)H_{\mathrm{e}}(f)\)，\(s_{\mathrm{L}}^{*}(t)\) 的频谱是

\[S_\mathrm{L}^{*}(-f)=A_{\mathrm{c}}M^{*}(-f)H_{\mathrm{e}}^{*}\]

\((-f)=A_\text{c}M(f)H_\text{e}^*(-f)\)。代入 \(s_{\mathrm{L}}^{*}(t)\) 的频谱并约去 \(A_\text{c}M(f)\) 后得到 \(\(H_{\mathrm{e}}(f)+H_{\mathrm{e}}^{*}(-f)=2\)\)

再将 \(H(f),H_e(f)\) 关系式代入后，得到：

\[H(f+f_c)+H(f-f_c)=2\]

这就是残留边带滤波器必须要满足的特性

解调方法

相干解调

使用相干解调器，参考 双边带抑制载波调幅-相干解调

输出结果与 DSB-SC 一致，恢复载波理想同步时，输出为：

\[y_\mathrm{o}(t)=\frac{A_\mathrm{c}}{2}m(t)\]

抗噪声性能

信噪比推导

以理想同步的相干解调为例，根据解调推导，可以得到在 AWGN 信道下，解调器输出为

\[y_{\mathrm{o}}(t)=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left\{r_{\mathrm{L}}(t)\right\}=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left\{s_{\mathrm{L}}(t)\right\}+\frac{1}{2}n_{\mathrm{c}}(t)\]

SSB 已调信号为

\[s(t)=A_\text{c}m(t)\cos2\pi f_\text{c}t\mp A_\text{c}m(t)\sin2\pi f_\text{c}t\]

其中 \(\overset{\wedge}{\operatorname*{m}}(t)\) 是 \(m(t)\) 的希尔伯特变换。SSB 信号的带宽是 \(B=W\)，功率是 \(P_{\mathrm{R}}=A_{\mathrm{c}}^{2}P_{\mathrm{m}}\)，复包络是\(A_{{c}}[m(t)\pm\mathrm{j}\hat{m}(t)]\)，故解调输出与 DSB-SC 相同，为：

\[y_0(t)=\frac{1}{2}[A_\text{c}m(t)+n_\text{c}(t)]\]

\(A_{{c}}m(t)\) 的功率是 \(A_{{c}}^2P_{{m}}=P_{{R}}\)，\(n_{{c}}(t)\) 的功率是 \(N_0B=N_0W\)，因此 SSB 理想相干解调的输出信噪比与 DSB-SC 相同。

\[\left(\frac{S}{N}\right)_{\mathrm{o}}=\frac{P_{\mathrm{R}}}{N_{0}W}\]

SSB信号中有两个 DSB-SC 信号：\(A_\mathrm{c}m(t)\cos2\pi f_\mathrm{c}t\) 与 \(A_\mathrm{c}\overset{\wedge}{\operatorname*{m}}(t)\sin2\pi f_\mathrm{c}t\)。其中只有 \(A_\mathrm{c}m(t)\cos2\pi f_\mathrm{c}t\) 对解调输出有贡献，这一部分的功率占 SSB 信号总功率 \(P_\mathrm{R}\) 的一半。另一个 DSB \(A_{\mathrm{c}}\overset{\wedge}{\operatorname*{m}}(t)\sin2\pi f_{\mathrm{c}}t\) 虽然对解调输出无贡献，但它能消掉 DSB 的一个边带，使信号带宽变窄，进而使噪声功率减半。

SSB 信号的信噪比：

\[\left(\frac{S}{N}\right)_{i_{SSB}}=\frac{P_R}{N_0W}=\frac{A_c^2P_M}{N_0W}\]

SSB 信号通过相干解调得到输出的信噪比为：

\[\left(\frac{S}{N}\right)_{\mathrm{o}}=\frac{A_c^2 P_m}{N_{0}W}\]

调制制度增益 \(G\)：

\[G=\frac{\left(\frac{S}{N}\right)_{o_{SSB}}}{\left(\frac{S}{N}\right)_{i_{SSB}}}=1\]