M 进制移频键控
本页面主要介绍 M 进制移频键控的定义、性质和调制、解调方式。
定义
在 \(M\) 进制移频键控 (MFSK) 调制中,在 \(M\) 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}\) 内,已调信号的载波频率是 \(M\) 个可能的离散值之一,其中每个载频对应于 \(K\) 个二进制符号 (\(M=2^{K}\))。
MFSK 信号表示式
\[\begin{aligned}s_{i}\left(t\right)&=\sqrt{\frac{2E_{s}}{T_{s}}}\cos(2\pi f_{c}t+2\pi i\Delta ft)\\&=\mathrm{Re}\Big[\:v_{i}\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}t}\Big]\quad i=1\:,2\:,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_{s}\end{aligned}\]
其中复包络 \(v_i(t)\) 为
\[v_i(t)=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi i\Delta ft}\quad i=1,2,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]
式中的 \(\Delta f\) 表示 MFSK 信号的相邻载频间隔。
注意
此处的 \(\Delta f\) 与讲述 2FSK 性质时使用的 \(\Delta f\) 有区别
矢量表示
正交 MFSK 是一种特殊的 MFSK,正交 MFSK
正交 MFSK 信号可用 \(N\) 维矢量表示,而\(N=M\)。正交\(M\)FSK 信号也可表示成
\[s_i(t)=\sqrt{E_s}f_i(t)\quad i=1,2,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]
\(M\) 个归一化正交基函数为 \([\Delta f=1/(2T_s)]\)
\[f_i(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos(2\pi f_\text{c}t+2\pi i\Delta ft)\quad i=1,2,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]
正交 MFSK 的正交展开式为
\[s_i(t)=\sum_{n=1}^Ms_mf_n(t)\quad i=1,2,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]
其中
\[s_{in}=\int_0^{T_s}s_i(t)f_n(t)\mathrm{d}t\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M,\quad n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]
正交 MFSK 的各信号波形的矢量表示为
\[\begin{aligned}&s_{1}=(s_{11},s_{12},\cdots,s_{1M})=(\sqrt{E_{s}},0,\cdots,0)\\&s_{2}=(0,\sqrt{E_{s}},0,\cdots,0)\\&:\\&s_{M}=(0,0,...,\sqrt{E_{s}})\end{aligned}\]
各信号矢量之间的欧氏距离是相等的,即
\[d_{kn}=\sqrt{2E_s}\]
对于所有的 \(k,n\)
下图表示 \(N=M=3\) 及 \(N=M=2\) 的正交 MFSK 的信号空间图。
性质
能量
MFSK 信号中的各信号波形是等能量的,其能量为
\[E_s=\int_0^{T_s}s_i^2\left(t\right)\mathrm{d}t\]
互相关系数
MFSK 信号中的各信号波形之间的互相关系数为
\[\begin{aligned}\rho_{km}&=\frac{1}{E_{\mathrm{s}}}\int_{0}^{T_{\mathrm{s}}}s_{k}\left(t\right)s_{m}\left(t\right)\mathrm{d}t\\&=\frac{2}{T_{s}}\int_{0}^{T_{s}}\cos(\omega_{\mathrm{c}}t+2\pi k\Delta ft)\cos(\omega_{\mathrm{c}}t+2\pi m\Delta ft)\mathrm{d}t\end{aligned}\]
可以得到
\[\rho_{km}=\frac{\sin\left[2\pi T_s\left(m-k\right)\Delta f\right]}{2\pi T_s\left(m-k\right)\Delta f}\]
下图表示 \(\rho_{km}\) 与 \(\Delta f\) 的关系曲线:
由上图可以看出,若 \(\Delta f=\frac1{2T}\),则 MFSK 各信号波形之间互相正交,称此 MFSK 为正交 MFSK。
功率谱密度
若 \(\Delta f=\frac1{2T}\) 给定,正交 MFSK 信号在 \(M=2,4,8\) 情况下,其复包络的平均功率谱密度如下图所示:
当 \(\Delta f=1/(2T_{\mathrm{s}})\) 给定时,随着 \(M\) 的增大,MFSK 信号功率谱的主瓣宽度随之增大,其频带利用率随之减小。
当\(M\)很大时,正交 MFSK 的频带宽度近似为
\[B\approx\frac M{2T_s}=\frac{MR_\mathrm{b}}{2\log_2M}\]
其中
\[T_s=(\log_2M)T_\mathrm{b}=KT_\mathrm{b}\]
于是,正交 MFSK 调制方式的频带利用率为
\[\frac{R_\mathrm{b}}B=\frac{2\mathrm{log}_2M}M\quad\mathrm{bit}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}\]
可见 MFSK 的频带利用率随 \(M\) 增加而减小。
调制与解调
调制过程
产生正交MFSK信号的原理框图如下图所示:
二进制序列串并变换为 \(K\) 个并行比特,相当于变换为\(M\)进制符号,然后再由每 \(K\) 个比特映射为 MFSK 信号波形中的一个。
解调过程
正交MFSK最佳接收框图如下:
最大似然检测器比较接收信号 \(\vec{r}=(r_1,r_2,\cdotp\cdotp\cdotp,r_M)\) 与各个星座点 \(s_1,s_2,\cdotp\cdotp\cdotp,s_M\) 之间的距离,输出距离最小者。\(\vec{r}\) 与\(s_i\) 的距离平方为
\[\begin{aligned}d_{i}^{2}&=\parallel r-s_i\parallel^2\\&=\parallel r\parallel^2+\parallel s_i\parallel^2-2r\cdots_i\quad i=1,2,\cdots,M\\&=\parallel r\parallel^2+E_s-2r_i\sqrt{E_s}\end{aligned}\]
\(d_1,d_2,\cdots,d_M\) 中的最小者一定是 \(-2r_1\sqrt{E_s},-2r_2\sqrt{E_s},\cdots,-2r_M\sqrt{E_s}\) 中的最小者,也即 \(r_1,r_2,\cdotp\cdotp\cdotp,r_M\) 中的最大者。因此最佳接收框图还可以表示为:
根据对称性可知,MFSK 的平均误符号率等于发送 \(s_{1}\) 条件下的错误率 \(P(e|s_1)\)。发送 \(s_1\) 时,接收信号为 \(r=(\sqrt{E_s}+n_1,n_2,\cdotp\cdotp\cdotp,n_M)\),其中 \(n_1,n_2,\cdotp\cdotp\cdotp,n_M\) 是独立同分布的零均值高斯随机变量,方差均为 \(N_0/2\)。当 \(n_2,n_3,\cdotp\cdotp\cdotp,n_M\) 中某一个比 \(r_1=n_1+\sqrt{E_s}\) 大时,判决出错。
令 \(A_i\) 表示事件 \(n_i>n_1+\sqrt{E_s},i=2,3,\cdotp\cdotp\cdotp,M\)。由于 \(n_i-n_1\) 是均值为 0,方差为 N。的高
斯随机变量,故
\[P(A_i)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{2N_0}}\right)\]
发送 \(s_{1}\) 条件下的错误率为
\[P(e\mid s_1)=P(A_2\cup A_3\cup\cdots\cup A_M)\]
此式没有闭式解,只能通过数值积分或计算机仿真获得。
从 \(P(e | s_1)\) 可以给出 MFSK 误符号率的上界:
\[\begin{aligned}P_{M}&=P(e\mid s_{1})\leqslant P(A_{2})+P(A_{3})\cdots+P(A_{M})\\&=\frac{M-1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{s}}{2N_{0}}}\right)\\&=\frac{M-1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{\mathrm{b}}\cdot\log_{2}M}{2N_{0}}}\right)\end{aligned}\]
可以看出,给定 \(E_{\mathrm{b}}/{N}_{\mathrm{o}}\) 时,MFSK 的误符号率的上界随 \(M\) 的增加而减小。下图进一步示出了\(P_{M}\) 的真实值(而非上界)与 \(E_\mathrm{b}/N_{0}\) 的关系曲线。与 MQAM (或 MASK,MPSK)相反,MFSK 随着 \(M\) 的增加,抗噪声能力增强,但频带利用率下降。
正交 MFSK 最佳接收的平均误比特率 \(P_\mathrm{b}\) 为
\[P_\mathrm{b}=\frac{M}{2\left(M-1\right)}P_M\]
在 M 很大时
\[P_{\mathrm{b}}\approx\frac{1}{2}P_{M}\]
正交 MFSK 平均误符率的曲线如下: