M 进制移相键控

本页面主要介绍 M 进制移相键控的定义、性质和解调方式。

定义

在 \(M\) 进制移相键控 (MPSK) 调制中，在 \(M\) 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}\) 内，已调信号的载波相位是 \(M\) 个可能的离散相位之一，其中每个载波相位对应于 \(K\) 个二进制符号(\(M=2^{K}\))。

MPSK 信号表示式：

\[s_i( t) = g_\text{T}( t) \cos \left [ 2\pi f_\text{c}t+ \frac {2\pi ( i- 1) }M\right ] \quad i= 1, 2, \cdotp \cdotp \cdotp , M, \quad 0\leqslant t\leqslant T_s\]

其中，\(T_{\mathrm{s}}\) 是 \(M\) 进制符号间隔，\(T_\mathrm{s}=(\log_2M)T_\mathrm{b}=KT_\mathrm{b}\)；\(T_\mathrm{b}\) 是二进制符号间隔； \(g_\mathrm{T}(t)\) 是基带发送滤波器冲激响应。

将 MPSK 信号表达式进一步展开，得到

\[\begin{aligned}s_{i}\left(t\right)&=g_{\mathrm{T}}\left(t\right)\left\{\left[\cos\frac{2\pi}{M}(i-1)\right]\cos\omega_{\mathrm{c}}t-\left[\sin\frac{2\pi}{M}(i-1)\right]\sin\omega_{\mathrm{c}}t\right\}\\&=g_{\mathrm{T}}\left(t\right)\left(a_{i_{\mathrm{c}}}\cos\omega_{\mathrm{c}}t-a_{i_{\mathrm{s}}}\sin\omega_{\mathrm{c}}t\right)0\leqslant t\leqslant T_{\mathrm{s}}\end{aligned}\]

式中

\[a_{i_c}=\cos\frac{2\pi}{M}(i-1)\:,\quad a_{i_s}=\sin\frac{2\pi}{M}(i-1)\quad i=1\:,2\:,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

\(\{a_{i_c}\}\) 与 \(\{a_{i_s}\}\) 是一组多电平幅度序列，在每个 \(M\) 进制符号间隔 \(T_s\) 内，要保证

\[a_{i_c}^2+a_{i_s}^2=1\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

在每个 \(M\) 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}\) 内，MPSK 各信号波形具有等能量

\[E_s=\int_0^{T_s}s_i^2\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_0^{T_s}g_\mathrm{T}^2\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}E_\mathrm{g}\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

其中 \(E_\mathrm{g}\) 是脉冲 \(g_\mathrm{T}(t)\) 的能量，若 \(g_\mathrm{T}(t)\) 是矩形脉冲，设

\[g_\mathrm{T}(t)=\sqrt{\frac{2E_\mathrm{s}}{T_\mathrm{s}}}\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{s}\]

代入 \(s_i(t)\)，得到

\[s_i\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\left(a_{i_c}\cos\omega_ct-a_{i_s}\sin\omega_ct\right)\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

由此可见，MPSK 可看成由两个正交载波的多电平振幅键控信号相加而成，其 \(M\) 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}=KT_\mathrm{b}\) 。

二维矢量表示

MPSK 的每个信号波形可由完备的两个归一化正交函数的线性组合构成，此两个归一化正交基函数 \(f_1(t)\) 与 \(f_2(t)\) 为

\[f_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos2\pi f_ct\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

\[f_2(t)=-\sqrt{\frac{2}{T_s}}\mathrm{sin}2\pi f_ct\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

MPSK 的正交展开式为

\[s_i(t)=s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)0\leqslant t\leqslant T_s\]

其中

\[ \begin{aligned} s_{i1}&=\int_0^{T_s}s_i\left(t\right)f_1\left(t\right)\mathrm{d}t=\sqrt{E_s}\cos\frac{2\pi}{M}(i-1) \\ &=\sqrt{E_s}a_{i_c}\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M \end{aligned} \]

\[\begin{aligned}s_{i2}&=\int_{0}^{T_{s}}s_{i}\left(t\right)f_{2}\left(t\right)\mathrm{d}t=\:\sqrt{E_{s}}\sin\frac{2\pi}{M}(i-1) \\ &=\:\sqrt{E_{s}}a_{i_{s}}\quad i=1,2,\cdots,M \end{aligned}\]

\[ s_i(t) = \sqrt{E_{s}}[a_{i_{c}}f_{1}\left(t\right)+a_{i_{s}}f_{2}\left(t\right)]\quad i=1,2,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_{s} \]

MPSK 信号的二维矢量表示为

\[s_i=\begin{bmatrix}s_{i1},s_{i2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{E_s}a_{i_c},\sqrt{E_s}a_{i_s}\end{bmatrix}\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

由公式得到的 \(M=2,4,8\) 的 MPSK 信号空间图如下图所示：

MPSK 相邻信号矢量的欧氏距离为

\[d_{\min}=2\:\sqrt{E_s}\sin\frac{\pi}{M}=2\:\sqrt{E_\text{b}\log_2M}\sin\frac{\pi}{M}\]

性质

功率谱密度

由于 MPSK 可看成是由两个正交载波的多电平振幅键控信号相加而成，其 \(M\) 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}=KT_\mathrm{b}\)，所以 MPSK 信号的功率谱密度是由同相支路及正交支路的功率谱密度相加得到，而每个支路的功率谱是相等的，且每个支路的功率谱密度与 MASK 的一样。

在二进制符号“+1”与“-1”等概出现，且二进制序列中各符号之间互不相关的条件下，具有不归零矩形脉冲的 MPSK 信号的平均功率谱密度计算公式为

\[P_{M\text{PSK}}(f)=\frac{E_s}{2}\left\{\Big[\frac{\sin\pi(f-f_c)T_s}{\pi(f-f_c)T_s}\Big]^2+\Big[\frac{\sin\pi(f+f_c)T_s}{\pi(f+f_c)T_s}\Big]^2\right\} \]

MPSK 的平均功率谱密度图如下图所示。

调制和解调过程

调制过程

以8PSK为例，其原理框图如下图所示。

输入二进制序列 \(\left\{b_k\right\}\) 经串并变换后成为 3 比特并行码，这相当于将二进制码变换为八进制码，此八进制码与 3 比特码之间符合格雷编码关系，而每 3 比特码又与\(a_{i_c}\)，\(a_{i_s}\) 电平之间有一定关系，如下表所示。

八进制码	3 比特码	\(a_{i_c}\)	\(a_{i_s}\)
0	000	0.924	0.383
1	001	0.383	0.924
2	011	-0.383	0.924
3	010	-0.924	0.383
4	110	-0.924	-0.383
5	111	-0.383	-0.924
6	101	0.383	-0.924
7	100	0.924	-0.383

需说明的是，\(a_{i_\mathrm{c}}\)及\(a_{i_\mathrm{s}}\) 电平是与下图所示 8PSK 的另一信号空间图相一致的。

解调过程

接收信号 \(r(t)\) 为

\(r( t) = s_i( t) + n_w( t)\) \(i= 1, 2, \cdotp \cdotp \cdotp , M\), \(0\leqslant t\leqslant T_s\)

接收信号 \(r(t)\) 可用二维矢量表示

\[r=s_i+n=\begin{bmatrix}r_1,r_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{E_s}a_{i_c}+n_1,\sqrt{E_s}a_{i_s}+n_2\end{bmatrix}\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

在加性白高斯噪声干扰下，MPSK 的最佳接收框图如下图所示：

在 MPSK 各信号波形等概率出现情况下，最佳接收的判决准则是最大似然(ML)准则。经坐标转换，ML 准则的检测是计算接收矢量的相位量度 \(\theta_\mathrm{r}\)：

\[r=(r_1,r_2)\]

\[\theta_\mathrm{r}=\arctan\frac{r_2}{r_1}\]

选择 \(\{s_i,i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\}\) 中的信号矢量的相位最接近于接收矢量的相位 \(\theta_\mathrm{r}\) 的信号 \(s_i\) 作为判决输出 \(\overset{\wedge}{\operatorname*{s}}\)。根据此判决规则可最佳地划分判决域，下图表示 8PSK 信号空间图及其最佳判决域的划分。

下面，计算\(M\)PSK 最佳接收的平均误符率。 若发端发送 \(s_1(t)\)信号，此 \(s_1(t)\)的信号矢量表示为

\[s_1=(\sqrt{E_s},0)\]

接收信号矢量为

\[r=(r_1,r_2)\]

\[\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

其中

\[r_1=\sqrt{E_s}+n_1\]

\[r_2=n_2\]

由于噪声 \(n_1\) 与 \(n_2\) 联合高斯，所以 \(r_1\) 与 \(r_2\) 联合高斯，为得到 \(r_1\) 与 \(r_2\) 的联合条件概率密度函数，先求出 \(r_1\) 与 \(r_2\) 的条件均值及方差

\[E\left(r_{1}\mid s_{1}\right)=\sqrt{E_{s}}\\E\left(r_{2}\mid s_{1}\right)=0\\D\left(r_{1}\mid s_{1}\right)=D\left(r_{2}\mid s_{1}\right)=\frac{N_{0}}{2}=\sigma_{\mathrm{r}}^{2}\]

由于发 \(s_1\) 条件下的 \(r_1\) 与 \(r_2\) 是统计独立的，\(r_1\) 与 \(r_2\) 的联合条件概率密度函数为

\[p\left(r_1r_2\mid s_1\right)=\frac{1}{2\pi\sigma_\mathrm{r}^2}\exp\left\{-\frac{\left[(r_1-\sqrt{E_s})^2+r_2^2\right]}{2\sigma_\mathrm{r}^2}\right\}\]

根据 MPSK 星座图的对称性可知，所有星座点有相同的错误率，因此平均误符号率就 是发送某个符号时的错误率。

考虑发送 \(s_1\),如果接收信号 \(r=(r_1,r_2)\) 落在判决域 \(D_1\) 之外，则判决出错，错误概率为

\[P_M=P(e\mid s_1)=\int_{D_1^c}p(r_1r_2\mid s_1)\:\mathrm{d}r_1\:\mathrm{d}r_2\]

上式的积分不能给出闭式解。下面以 8PSK 为例给出错误率的上界。

令 \(A=D_2\cup D_3\cup D_4\cup D_5\) 表示 \(22.5^\circ\) 线的上方，\(B=D_8\cup D_7\cup D_6\cup D_5\) 表示 \(-22.5^\circ\) 线的下方。

发送 \(s_1\) 的条件下，\(r\) 落在 \(A\) 中的概率就是噪声沿 \(s_1\to s_2\) 方向的分量超过 \(\dfrac{d_{\min}}2=\sqrt{E_s}\sin\dfrac \pi 8\) 的概率。噪声在任何方向上的投影都是均值为 0，方差为 \(\dfrac{N_0}2\) 的高斯随机变量，故

\[P(A\mid s_1)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{4N_0}}\right)\]

根据对称性可知 \(P(B\mid s_1)=P(A\mid s_1)\)。

\(s_1\) 的判决域 \(D_1\) 之外是 \(D_1^{\mathrm{c}}=A\cup B\)。于是

\[\begin{aligned}P\left(e|s_{1}\right)&=P\left(A\cup B\mid s_{1}\right)\\&=P(A\mid s_1)+P(B\mid s_1)-P(A\cap B\mid s_1)\\&<P(A|s_1)+P(B|s_1)\\&=\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\mathrm{s}}{N_0}\sin^2\frac{\pi}{8}}\right)\end{aligned}\]

推广到一般情形，MPSK 误符号率的上界为

\[P_M<\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}\cdot \sin^2\frac\pi M}\right)\]

当从 \(K\) 个比特映射为 MPSK 相应的信号相位符合格雷码的相位逻辑关系时，MPSK 相邻载波相位所对应的 \(K\) 个比特之间仅相差 1 个比特符号。这样，在噪声不太大时，由于噪声引起差错，大多数只是错误选择与正确相位相邻的相位，从而错判为相邻载波相位，在译为 \(K\) 个比特时，仅包含单个比特的差错，因此 MPSK 的平均误比特率 \(P_\mathrm{b}\) 与平均误符率 \(P_M\) 之间的关系近似为

\[ \begin{aligned} P_{\mathrm{b}}&\approx\frac{1}{\log_{2}M}P_{M}=\frac{1}{K}P_{M} \\ &= \frac{1}{K} \mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}\cdot \sin^2\frac\pi M}\right) \end{aligned} \]

MPSK 的误符率与 \(E_\mathrm{b}/N_\mathrm{o}\) 的关系曲线如下图所示。

图中可以看出，当 \(E_{\mathrm{b}}/N_{\mathrm{o}}\) 给定时，随着 \(M\) 值的增大，误符率 \(P_{\mathrm{M}}\) 增大，这是因为随着 \(M\) 的增加，MPSK 的相邻两信号矢量之间的欧氏距离随之减少。