M 进制振幅调制

本页面主要介绍 M 进制振幅调制的定义、性质和解调方式。

定义

在 \(M\) 进制振幅键控 (MASK) 调制中，在 \(M\) 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}\) 内，\(M\) 进制振幅键控信号的载波振幅是 \(M\) 个可能的离散电平之一，\(M=2^K\)，其中每个电平对应于 \(K\) 个二进制符号。虽然在实际通信中不采用 MASK 调制方式，然而对它的分析具有一定意义，因为由 MASK 信号可派生出 MPSK 及 QAM 信号，因此对 MASK 的分析同样适用于 MPSK 及 QAM。

将 MPAM 数字基带信号与正弦载波相乘，即可得到 MASK 信号。MASK 信号的产生框图如下：

\(\left\{b_k\right\}\) 为二进制序列，\(\left\{a_n\right\}\) 为 \(M\) 进制幅度序列，\(M=2^K\)，每 \(K\) 个比特构成一组，对应于一个 \(M\) 进制符号，每个 \(M\) 进制符号与 \(M\) 个可能的离散电平相对应。\(M\) 进制幅度序列通过发送滤波器(冲激响应为 \(g_T(t)\) )，产生 MPAM 基带信号 \(b(t)\)。

MASK 信号的表示式为

\[ \begin{aligned} s_{MASK}(t)&=b(t)\cdot A\cos\omega_{\mathrm{c}}t \\ &=\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}g_{\text{T}}\left(t-nT_{\text{s}}\right)\right]\cdot A\cos\omega_{\text{c}}t \end{aligned} \]

式中，\(T_\mathrm{s}=KT_\mathrm{b}\) 表示 \(M\) 进制符号间隔，\(T_\mathrm{b}\) 为二进制符号间隔。

矢量表示

在 \(0 \leqslant t\leqslant T_s\) 期间，\(M\)PAM 信号也可表示为

\[b_i(t)=a_ig_\text{T}(t)\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

其中

\[a_i=2i-1-M\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

\(a_i\) 是信号幅度，有 \(M\) 个可能的离散值。

于是，在 \(0 \leqslant t\leqslant T\)。期间，MASK 信号(设 \(A=1\))表示式也可写为

\[s_{i}( t) = a_{i}g_{T}( t) \cos \omega _{c}t \quad i= 1, 2, \cdotp \cdotp \cdotp , M \quad 0\leqslant t\leqslant T_{s}\]

此 MASK 信号可由一个归一化基函数表示

\[s_i(t)=s_if_1(t)\quad i=1,2,\cdots,M \quad 0\leqslant t\leqslant T_s\]

其中，归一化基函数 \(f_{1}(t)\) 为

\[f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{E_\mathrm{g}}}g_\mathrm{T}(t)\cos2\pi f_\mathrm{c}t\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{s}\]

\(s_i\) 是信号波形 \(s_i(t)\) 在基函数 \(f_1(t)\) 上的投影。

设 \(g_{\mathrm{T}}(t)\) 是矩形脉冲

\[g_\mathrm{T}(t)=\begin{cases}\sqrt{\frac{E_\mathrm{g}}{T_\mathrm{s}}}&0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{s}\\\\0&t\text{为其他}\end{cases}\]

\(E_\mathrm{g}\) 为脉冲 \(g_\mathrm{T}(t)\)的能量

\[E_\mathrm{g}=\int_0^Tg_\mathrm{T}^2\left(t\right)\mathrm{d}t\]

MASK 信号波形可用一维矢量来表示

\[s_i=\begin{bmatrix}s_i\end{bmatrix}\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

其中

\[s_i=\int_0^{T_s}s_i(t)\cdot f_1(t)\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{E_g}{2}}a_i\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

MASK 的各信号波形或信号矢量之间的欧氏距离为

\[d_{mn}=\sqrt{(s_m-s_n)^2}=\sqrt{\frac{E_g}{2}}\mid a_m-a_n\mid=\sqrt{2E_g}\mid m-n\mid \]

8ASK 的信号空间图如下：

性质

功率谱密度

MASK 信号的平均功率谱密度是将 MPAM 基带信号的平均功率谱密度搬移到载频上，则

\[P_s(f)=\frac{A^2}{4}\Big[P_\text{b}(f-f_\text{c})+P_\text{b}(f+f_\text{c})\Big]\]

若 \(g_{\mathrm{T}}(t)\) 是不归零矩形脉冲，\(\{ a_n \}\) 幅度序列的各电平等概率出现，符号间互不相关，且具有

正负极性，使其均值 \(E\langle a_n\rangle=0\),由第5章 5.2 节介绍的 \(M\)PAM 基带信号的平均功率谱密度公式为

\[P_{\mathrm{b}}(f)=\sigma_{\mathrm{a}}^{2}A_{\mathrm{b}}^{2}T_{\mathrm{s}}\operatorname{sinc}^{2}(fT_{\mathrm{s}})\]

MPAM 及 MASK 信号的平均功率谱密度图下图所示。

MASK 信号平均功率谱密度的特点是：主瓣宽度仅与 \(M\) 进制符号速率 \(R_s= \frac 1{T_s}\) 有关，由于 \(R_\mathrm{s}=R_\mathrm{b}/K\)，所以 MASK 信号的功率谱主瓣宽度为 \(2 R_\mathrm{s}=2 R_\mathrm{b}/K\)。

解调

设各 \(s_i(t)\) 等概率出现，在加性白高斯噪声信道条件下，接收信号 \(r(t)\) 为

\[r(t)=s_i(t)+n_\mathrm{w}(t)\quad i=1,2,\cdots,M;\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

由于 MASK 信号可用一维矢量表示，所以对于它的最佳接收，只要将接收波形 \(r(t)\) 变换为一维观察矢量 \(\vec{r}_1\) (它是充分统计量),然后根据此一维观察矢量 \(\vec{r}_1\)，并利用 MAP 准则进行统计判决，就可使得平均错判概率最小，说明如下。

在加性白高斯噪声 \(n_\mathrm{w}(t)\) 的干扰下，MASK 的最佳接收框图如下图所示。

采样位置输出：

\[\begin{aligned}\mathrm{r}&_{1}=\int_{0}^{T_{s}}r(t)f_{1}(t)\mathrm{d}t\\&=\int_0^{T_s}\begin{bmatrix}s_if_1(t)+n_\mathrm{w}(t)\end{bmatrix}f_1(t)\mathrm{d}t\\&=a_{i}\sqrt{\frac{2}{E_{\mathrm{g}}}}\int_{0}^{T_{s}}g_{\mathrm{T}}^{2}\left(t\right)\cos^{2}\left(2\pi f_{\mathrm{c}}t\right)\mathrm{d}t+\int_{0}^{T_{s}}n_{\mathrm{w}}\left(t\right)f_{1}\left(t\right)\mathrm{d}t\\&=a_i\sqrt{\frac{E_g}{2}}+n=s_i+n\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\end{aligned}\]

高斯随机变量 n 的均值及方差为

\[E(n)=\int_0^{T_s}E[n_\mathrm{w}(t)]f_1(t)\mathrm{d}t=0\]

\[D(n)=E\bigg[\int_0^T\int_0^Tn_\mathrm{w}(t)n_\mathrm{w}(\tau)f_1(t)f_1(\tau)\mathrm{d}t\mathrm{d}\tau\bigg]\]

\[\begin{aligned}&=\int_{0}^{T_{s}}\int_{0}^{T_{s}}E[n_{\mathrm{w}}(t)n_{\mathrm{w}}(\tau)]f_{1}(t)f_{1}(\tau)\:\mathrm{d}t\mathrm{d}\tau\\&=N_0/2\end{aligned}\]

在发 \(s_i\) 条件下，\(r_1\) 的条件数学期望及方差为

\[E[r_1\mid s_i]=s_i\]

\[D[r_1\mid s_i]=\frac{N_0}2\]

似然函数为

\[p\left(r_1\mid s_i\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\exp\biggl[-\frac{(r_1-s_i)^2}{N_0}\biggr]\]

在各 \(s_{i}\) 等概出现条件下的 MAP 准则即为 ML 准则：

选 \(p(r_1|s_i)(i=1,2,\cdotp \cdotp \cdotp, M)\) 最大者所对应的\(s_i\)作为判决输出 \(\overset{\wedge}{\operatorname*{s}}\)。

在计算 MASK 的误码性能时，先计算 \(M=2\) 及 \(M=4\) 的误符率，再依此类推，得到 \(M\) 为任意值的误符率。

\(M=2\) 的 2ASK 的似然函数及最佳判决域的划分如下图所示。

在 2ASK 调制的数字基带信号 2PAM 的数学期望为 0 的条件下，在先验概率 \(P(s_1)=P(s_2)=1/2\) 时，2ASK 最佳判决门限为零(需说明：此处的 2ASK 与 2PSK 相同，但与 OOK 有所区别)。

对于 2ASK 发 \(s_1(t)\) 的错判概率为

\[\begin{aligned}P\left(e\mid s_{1}\right)&=\int_{0}^{\infty}p\left(r_{1}\mid s_{1}\right)\mathrm{d}r_{1}\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}}\mathrm{exp}\bigg[-\frac{(r_{1}-s_{1})^{2}}{N_{0}}\bigg]\mathrm{d}r_{1}\\&=\int_{-s_{1}}^{\infty}/\sqrt{N_{0}}\:\frac{1}{\sqrt{\pi}}\mathrm{exp}\bigg[-\frac{(r_{1}-s_{1})^{2}}{N_{0}}\bigg]\mathrm{d}\bigg(\frac{r_{1}-s_{1}}{\sqrt{N_{0}}}\bigg)\end{aligned}\]

将 2ASK 的 \(s_1=-\sqrt{\frac{E_{\mathrm{g}}}{2}}\) 及 \(d_{\mathrm{min}}=\sqrt{2E_{\mathrm{g}}}=-2s_{1}\) 代入，得

\[\begin{aligned}P\left(e\mid s_{1}\right)&=\int_{d_{\min}/(2\sqrt{N_{0}})}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\mathrm{exp}(-z^{2})\mathrm{d}z\\&=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(\sqrt{\frac{d_{\min}^2}{4N_0}})\\&=Q\left(\sqrt{\frac{d_{\min}^2}{2N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_{\mathfrak{g}}}{N_0}}\right)\end{aligned}\]

在 \(M=2\) 时，2ASK 的平均误比特率 \(P_\mathrm{b}\) 为

\[\begin{aligned}P_{\mathrm{b}}&=P(s_1)P(e\mid s_1)+P(s_2)P(e\mid s_2)\\&=P(e\mid s_1)=P(e\mid s_2)\\&=\frac12{\left[2Q(\sqrt{\frac{d_{\mathrm{min}}^2}{2N_0}})\right]}\\&=Q(\sqrt{\frac{d_{\mathrm{min}}^2}{2N_0}})\end{aligned}\]

判决区域的一大块阴影面积的二分之一表示 \(M=2\) 的平均误比特率。

下面，再求\(M=4\)的 4ASK 最佳接收的误符率。

下图表示 4ASK 的各似然函数图及在各 \(s_i\) 等概出现时最佳判决域的划分。

图中有三大块阴影面积之和的四分之一表示 \(M=4\) 的 4ASK 接收的平均误符率为

\[P_M=\frac34\bigg[2Q(\sqrt{\frac{d_{\min}^2}{2N_0}})\bigg]\]

依此类推，对于\(M=2^K,K\)为二进制比特数，\(M\)ASK 的平均误符率\(P_M\)为

\[P_M=\frac{(M-1)}M\biggl[2Q\biggl(\sqrt{\frac{d_{\min}^2}{2N_0}}\biggr)\biggr]=\frac{2(M-1)}M\biggl[Q\bigl(\sqrt{\frac{E_{\mathfrak{g}}}{N_0}}\bigr)\biggr]\]

MASK 的平均误符率 \(P_\mathrm{M}\) 可用平均比特能量 \(E_\mathrm{b}\) 表示。 在 \(0\leqslant t\leqslant T_s\)。期间，第 i 个 MASK 信号波形能量为

\[E_i=\int_0^{T_s}s_i^2\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{E_g}{2}a_i^2\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

在 \(M\) 进制符号间隔内的信号平均能量，简称平均符号能量 \(E_\mathrm{av}\)，即

\[\begin{aligned}\mathrm{E}&=P_{\mathrm{av}}T_{\mathrm{s}}=\frac{1}{M}\sum^{M}E_{i}\\&=\frac{E_g}{2M}\sum_{i=1}^M{(2i-1-M)^2}\\&=\frac{E_g}{2M}\cdot\frac{(M^2-1)M}{3}=\frac{(M^2-1)}{6}E_g\end{aligned}\]

\(P_{\mathrm{~av}}\)为平均功率

\[E_\mathrm{g}=\frac{6P_\mathrm{av}T_\mathrm{s}}{M^2-1}=\frac{6E_\mathrm{b}\log_2M}{M^2-1}=\frac{d_\mathrm{min}^2}2\]

代入 \(P_M\) 式，得到

\[\begin{aligned}P_{M}=&\frac{2(M-1)}{M}Q\left[\sqrt{\frac{6P_{\mathrm{av}}T_{\mathrm{s}}}{(M^{2}-1)N_{0}}}\right]=\frac{2(M-1)}{M}Q\left[\sqrt{\frac{6(\log_{2}M)E_{\mathrm{b}}}{(M^{2}-1)N_{0}}}\right]\\=&\frac{2(M-1)}{M}Q\left(\sqrt{\frac{d_{\mathrm{min}}^{2}}{2N_{0}}}\right)\end{aligned}\]

式中，\(E_{\mathrm{b}}\) 为平均比特能量。\(E_\mathrm{av}\) 为 \(M\) 进制符号的平均能量

\[(\log_2M)E_{\mathrm{b}}=E_{\mathrm{av}}=P_{\mathrm{av}}\cdot T_{\mathrm{s}}\]

MASK 的平均误符率 \(P_{\mathrm{M}}\) 与 \(E_{\mathrm{b}}/N_{\mathrm{o}}\) 的关系曲线如下图所示。

由上图可以看出，当 \(E_\mathrm{b}/N_\mathrm{o}\) 给定时，随着 \(M\) 的增大，其平均误符率是增加的。

由平均误符率 \(P_{\mathrm{M}}\) 计算平均误比特率 \(P_\mathrm{b}\)：

若 \(M\) 进制符号与 \(K\) 个二进制符号之间符合格雷编码规则，那么 MASK 信号矢量与所携带的 \(K\) 个二进制符号之间也符合格雷编码关系，则在 \(E_{\mathrm{b}}/N_{\mathrm{o}}\) 比较大时，由于噪声引起错判，在 \(K\) 个比特中仅错 1 个比特，于是平均误比特率近似为

\[P_\mathrm{b}{\approx}\frac{P_M}{\log_2M}\]