波形的矢量表示

本页面主要介绍波形的矢量表示的定义和性质

前言

信号分析的理论表明，信号波形表示式与多维矢量之间存在着许多形式上的相似，借助于信号与矢量之间的类比，可得到信号波形在正交信号空间的矢量表示法。这样，使我们对数字调制信号的分析有直观的认识，并有更深入的理解。将信号的矢量表示的工具与统计判决理论相结合，能很好地解决M进制数字调制的最佳设计问题：简化调制信号的产生及最佳接收，且误码性能计算容易。所以，在通信理论中，研究信号波形的矢量表示（或称为几何表示）具有重要意义。

正交矢量空间

若有 \(N\) 个互相正交的归一化矢量组 \((e_1,e_2,\cdotp\cdotp\cdotp,e_N)\) 形成一个完备的坐标系统，该系统中的任一矢量 \(V\) 等于它在 \(N\) 个坐标轴上的分矢量的几何和，可以用下式表示：

\[v=\sum_{i=1}^Nv_i\mathrm{e}_i\]

式中，\(e_i\)是单位矢量(模为 1),该正交矢量组中的任意两单位矢量之间的内积为

\[e_i\cdot e_j=\begin{cases}0&i\neq j\\1&i=j\end{cases}\]

称此矢量组 \((e_1,e_2,\cdotp\cdotp\cdotp,e_N)\) 为归一化正交矢量组，由它构成归一化正交矢量空间。系数 \(v_i(i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N)\) 表示 \(N\) 维矢量 \(V\) 在坐标系中的各个坐标轴上的投影，即 \(v_i\) 是矢量 \(V\) 在单位矢量 \(e_i\) 上的投影，即

\[v_i=V\cdot e_i\]

上式表明，投影 \(v_i\) 是矢量 \(V\) 与单位矢量 \(e_i\) 的内积，它是矢量 \(V\) 沿着分矢量 \(e_i\) 上的分量。

将信号与矢量类比，可将矢量空间的一些概念应用于信号分析。下面，用矢量来表示信号波形，并论证信号波形和它的矢量表示之间的对应关系。

正交信号空间

设信号 \(s(t)\) 是确定的是信号，具有有限的能量 \(E_s\)，即

假设有一完备的归一化正交函数集 \(\left\{f_n\left(t\right),n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N\right\}\)，则

\[\int _{- \infty }^{\infty }f_{n}( t)\cdot f_{m}( t)\mathrm{d}t=\begin{cases}0&m\neq n\\1&m=n\end{cases}\]

可用该归一化正交函数的线性组合来近似表示信号 \(s(t)\)，用 \(\overset{\wedge}{s}(t)\) 表示 \(s(t)\) 的近似式

\[\hat{s}\left(t\right)=\sum_{n=1}^{N}s_{n}\cdot f_{n}\left(t\right)\]

式中，\(\{s_n,n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N\}\) 是近似式 \(\hat{s}(t)\) 的正交展开式的系数。为了得到最佳近似，要根据近似误差的均方值最小(即近似误差的能量最小)来求出最佳的系数。 信号的近似误差为 \(e(t)\)，即

\[e(t)=s(t)-\overset{\wedge}{\operatorname*{s}}(t)\]

近似误差的能量 \(E_\mathrm{e}\) 为

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{e}}&=\int_{-\infty}^{\infty}e^2\left(t\right)\mathrm{d}t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[s(t)-\overset{\wedge}{\operatorname*{s}}(t)\right]^2\mathrm{d}t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[s(t)-\sum_{k=1}^{N}s_kf_k(t)\right]^2\mathrm{d}t \end{aligned} \]

要使近似误差的能量 \(E_\mathrm{e}\) 最小，则要使

\[\frac{\partial E_\mathrm{e}}{\partial s_n}=0\]

即满足

\[\int_{-\infty}^{\infty}\left[s(t)-\sum_{k=1}^{N}s_{k}\bullet f_{k}(t)\right]\bullet f_{n}(t)\mathrm{d}t=0\quad n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N\]

由于各正交函数 \(\left\{f_n(t)\right\}\) 之间是正交的，所以可进一步得到

\[s_n=\int_{-\infty}^\infty s(t)\bullet f_n(t)\mathrm{d}t\quad n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N\]

由上式可以看出，系数 \(s_n\) 是信号 \(s(t)\) 与正交函数 \(f_n(t)\) 的内积，于是近似误差的能量 \(E_e\) 可写为

\[\begin{aligned}E_{\mathrm{e}_{\mathrm{min}}}&=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t-2\int_{-\infty}^{\infty}\Big[\sum_{k=1}^{N}s_{k}f_{k}(t)\Big]s(t)\mathrm{d}t+\int_{-\infty}^{\infty}\Big[\sum_{k=1}^{N}s_{k}f_{k}(t)\Big]^{2}\mathrm{d}t\\&=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t-\sum_{k=1}^{N}s_{k}^{2}\\&=E_{s}-\sum_{k=1}^{N}s_{k}^{2}\end{aligned}\]

当 \(E_\mathrm{e_\mathrm{min}}=0\) 时，有

\[E_{\mathrm{s}}=\sum_{k=1}^{N}s_{k}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t\]

于是，在 \(E_\mathrm{e_{\mathrm{min}}}=0\) 条件下，可将 \(s(t)\) 表示为一个正交展开式

\[s(t)=\sum_{k=1}^Ns_k\cdot f_k(t)\]

如果某信号集中的每一有限能量的信号波形 s(t)均可用上述正交展开式表示，且 \(E_{\mathrm{e_{min}}}=0\)，则此归一化正交函数集 \(\left\{f_n(t)\right\}\) 对此信号集是完备的。

可以看到，将信号波形分解为 N 个归一化正交函数分量的表示形式与 \(s(t)\) 的正交展开式将 N 维矢量分解为 N 个正交分矢量的表示形式相类似，因此，可将信号与矢量相类比。

在信号分析中，设想将完备的归一化正交函数集 \(\left\{f_n(t),n=1,\cdotp\cdotp\cdotp,N\right\}\) 构成一个 N 维信号空间，该信号空间中的任一能量有限的信号波形 \(s(t)\) 可视为一 N 维信号矢量，它被定义为在 N 维信号空间中的一个点，该点在 N 维信号空间的位置是由信号波形 \(s(t)\) 在各归一化正交函数 \(\left\{f_n(t)\right\}\) 上的投影来确定，这与 \(N\) 维矢量在正交矢量空间中的位置是由该矢量在各正交坐标轴上的坐标来确定是类似的。

根据系数 \(s_n\) 和 \(s(t)\) 的正交展开式，信号波形的矢量表示式为

\[s=(s_1,s_2,...,s_N)\]

s 表示信号波形用 N 维矢量来表示，\(\{s_n,n=1,\cdotp\cdotp\cdotp,N\}\) 表示该 N 维矢量的坐标。这就是信号波形的矢量表示，也称为信号波形的几何表示。

信号的矢量表示

若用完备的归一化正交函数集 \(\left\{f_n(t),n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N\right\}\) 来描述 \(M\) 个能量有限的信号波形\(\left\{s_i(t),i=1,\cdotp\cdotp\cdotp,M\right\}\)，可写为

\[s_i(t)=\sum_{n=1}^Ns_{in}\bullet f_n(t)\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

系数

\[s_{in}=\int_{-\infty}^{\infty}s_{i}(t)\bullet f_{n}(t)\:\mathrm{d}t\quad i=1,2,\cdots,M;n=1,2,\cdots,N\]

这样，每个信号波形映射为 N 维信号空间中的一点，其坐标为 \(\{s_{in},n=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,N\}\)，每 个信号波形的矢量表示为

\[s_i=(s_{i1},s_{i2},\cdotp\cdotp\cdotp,s_{iN})\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

每个信号波形的信号能量 \(E_i\) 可表示为矢量长度的平方(即矢量模的平方)，也等于 N 维矢量在坐标轴上的各投影的平方之和。

\[E_i=\int_{-\infty}^\infty\left[s_i(t)\right]^2\mathrm{d}t=\sum_{n=1}^Ns_{in}^2=\mid s_i\mid^2\]

信号间互相关系数

两信号波形或两信号矢量之间的互相关系数定义为：若信号波形是实信号，两信号波形之间的归一化互相关系数为

\[\rho_{mk}\:=\:\frac{1}{\sqrt{E_m}\:\sqrt{E_k}}\int_{-\infty}^{\infty}s_m(t)\:\cdot\:s_k(t)\:\mathrm{d}t\]

其中，\(E_m\) 是信号波形 \(s_m(t)\)的能量\(,E_k\) 为信号波形 \(s_k(t)\)的能量。 用矢量表示

\[\rho_{mk}=\frac{s_m\bullet s_k}{\sqrt{E_m\bullet E_k}}\]

其中，\(s_m(t)\) 的矢量用 \(s_m\) 表示，\(s_k(t)\) 用矢量 \(s_k\) 表示，\(s_m\cdot s_k\) 表示两矢量的数量积(或称为点积，或为内积)。

在一对信号波形或一对信号矢量之间的互相关系数表征两信号之间的相似性。

信号间波形的欧氏距离

两信号波形或两信号矢量之间的距离(称为欧氏距离)的定义为：

\[\begin{aligned}d_{mk}&=\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\left[s_{m}\left(t\right)-s_{k}\left(t\right)\right]^{2}\mathrm{d}t\right\}^{1/2}\\&=(E_m+E_k-2\:\sqrt{E_m\:\bullet\:E_k}\:\bullet\:\rho_{mk}\:)^{1/2}\end{aligned}\]

用矢量表示

\[d_{mk}=\mid s_m-s_k\mid \]

在各信号波形等能量，即 \(E_m=E_k=E\) 情况下，有

\[d_{mk}=\begin{bmatrix}2E(1-\rho_{mk})\end{bmatrix}^{1/2}\]

欧氏距离是用来测量两信号波形或相应的两信号矢量之间的差异性。

通过上述分析可看到，\(M\) 个能量有限信号波形可相应地映射为 \(N\) 维信号空间中的 \(M\) 个点，在 \(N\) 维信号空间中 \(M\) 个点的集合称为信号星座，可用几何图形表示，称为信号星座图，或称为信号空间图。在信号空间图中从坐标原点到信号空间中某一点的矢量长度的平方等于相应信号的能量。在信号空间图中两矢量端点之间的距离称为一对信号波形之间的欧氏距离。两信号波形之差的能量等于在信号空间两矢量端点之间距离的平方。

各类信号的矢量表示

二进制通断键控#矢量表示

二进制移频键控#矢量表示

二进制移相键控#矢量表示