正交幅度调制

本页面主要介绍正交幅度调制的定义、性质和解调方式。

定义

来源

将 MPSK 与 MASK 相比，在相同的 \(E_\mathrm{b}/N_0\) 值、相同的 \(M\) 值(M>2)条件下，MPSK 的误符率 \(P_{_{M}}\) 小于 MASK 的误符率，这是因为当 \(E_\mathrm{b}\) 一定时，随着 \(M\) 的增加，MASK 信号矢量的最小欧氏距离比 MPSK 的减小得更多。

综上所述，MASK 的信号空间是一维空间，信号矢量的端点分布在一条直线轴上；MPSK的信号空间是二维空间，各信号矢量的端点分布在一个圆上；在发送信号平均比特能量给定时，随着M的增大，信号矢量端点之间的欧氏距离也随之减小。如果充分利用二维信号空间的平面，在不减小相邻信号矢量之间的最小欧氏距离的条件下，可增加信号矢量的端点数目，从而增加信道的频带利用率。基于此概念，引出联合控制正弦载波的幅度及相位的调制方式——正交幅度调制(QAM)。

正交幅度调制(QAM)是由两个正交载波的多电平振幅键控信号叠加而成的，它与 MPSK 的不同之处在于两个支路的多电平幅度序列是相互独立的。

MQAM 信号表示式

\[s_{\mathrm{QAM}}( t) = a_{i_{\mathrm{c} }}g_{\mathrm{T} }( t) \cos \omega _{\mathrm{c} }t- a_{i_{\mathrm{s} }}g_{\mathrm{T} }( t) \sin \omega _{\mathrm{c} }t \quad i= 1, 2, \cdotp \cdotp \cdotp , M, 0\leqslant t\leqslant T_{\mathrm{s} }\]

式中，\(\{a_{i_{\mathrm{c}}}\}\) 及 \(\{a_{i_{\mathrm{s}}}\}\) 是一组离散电平的集合，\(g_T(t)\) 是基带成形滤波器的冲激响应。

MQAM 信号也可表示成

\[\begin{aligned}s_{\mathrm{QAM}}(t)&=\mathrm{Re}[(a_{i_{\mathrm{c}}}+\mathrm{j}a_{i_{\mathrm{s}}})g_{\mathrm{T}}(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{\mathrm{c}}t}] \\ &=\mathrm{Re}[V_{i}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{i}}g_{\mathrm{T}}(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{\mathrm{c}}t}]\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_{s}\end{aligned}\]

式中

\[V_i=\sqrt{a_{i_c}^2+a_{i_s}^2}\]

\[\theta_i=\arctan\frac{a_{i_s}}{a_{i_c}}\]

根据定义式，MQAM 也可看为联合控制正弦载波的幅度及相位的数字调制信号。

矢量表示

MQAM 信号波形可表示为两个归一化正交基函数的线性组合，即

\[s_i(t)=s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)\quad i=1,2,\cdots,M,\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

其中，两个归一化正交基函数为

\[f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{E_\mathrm{g}}}g_\mathrm{T}(t)\cos\omega_\mathrm{c}t\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{s}\]

\[f_2(t)=-\sqrt{\frac{2}{E_\mathrm{g}}}g_\mathrm{T}(t)\sin\omega_\mathrm{c}t\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

系数

\[\begin{aligned}&s_{i1}=\int_{0}^{T_{s}}s_{i}\left(t\right)f_{1}\left(t\right)\mathrm{d}t=a_{i_{c}}\sqrt{\frac{E_{g}}{2}}\quad i=1,2,\cdots,M\\&s_{i2}=\int_{0}^{T_{s}}s_{i}\left(t\right)f_{2}\left(t\right)\mathrm{d}t=a_{i_{s}}\sqrt{\frac{E_{g}}{2}}\quad i=1,2,\cdots,M\\\end{aligned}\]

MQAM 信号波形的二维矢量表示

\[s_i=\begin{bmatrix}s_{i1},s_{i2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{i_c}\sqrt{\frac{E_g}{2}},a_{i_s}\sqrt{\frac{E_g}{2}}\end{bmatrix}\quad i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,M\]

式中的 \(E_j\) 为脉冲 \(g_T(t)\) 的能量，MQAM 信号的信号空间图如下图所示。

QAM信号空间图

若 MQAM 信号空间图中矢量端点的分布是矩形的，即 MQAM 信号的星座图是矩形的，则 MQAM 的两相邻信号矢量的欧氏距离与 MPAM 的一样，其最小欧氏距离为

\[d_{\min}=\sqrt{2E_{\mathrm{g}}}=\sqrt{\frac{6E_{\mathrm{b}}\log_{2}M}{M-1}}\]

对于 \(M=2^K\)，且 \(K\) 为偶数的矩形星座的 MQAM 信号，可等效为同相及正交支路的 \(\sqrt{M}\) 进制 ASK 信号之和，每个支路具有 \(\sqrt{M}=2^{K/2}\) 个信号电平。

此矩形 MQAM 信号星座虽不是最优的星座结构，但在满足一给定的最小欧氏距离条件下，即在满足一定误符率条件下，矩形星座的 MQAM 信号所需平均发送功率仅比最优 MQAM 星座结构的信号平均发送功率稍大，而矩形星座的 MQAM 信号的产生及解调在实际实现时比较容易，所以矩形星座 MQAM 信号在实际通信中得到广泛应用。

性质

功率谱密度

矩形星座 MQAM 信号是由同相及正交支路的 \(\sqrt{M}\) 进制 ASK 信号叠加而成，而同相及正交支路的平均功率谱密度是相同的，其符号间隔 \(T_{\mathrm{s}}=KT_{\mathrm{b}}(M=2^{K})\)，所以 MQAM 的功率谱是同相及正交支路功率谱之和。

在给定信息速率 \(R_\mathrm{b}\) 及 \(M\) 进制的条件下，MQAM 的平均功率谱与 MASK、MPSK 的功率谱是相同的。

具有不归零矩形脉冲的 MQAM 复包络功率谱示例如下：

MQAM单边功率谱

MQAM 功率谱主瓣宽度为 \(2 R_\mathrm{s}\)，\(R_\mathrm{s}=R_\mathrm{b}/K\)。在给定信息速率 \(R_\mathrm{b}\) 时，随着 \(M\) 的增加，MQAM 的功率谱主瓣宽度变窄，使得频带信道的频带利用率提高。

数字调制信号的频带利用率定义为：所传输的信息速率与已调信号频带宽度 \(B\) 之比值 (设 \(B\) 为功率谱主瓣宽度)。

\[\frac{R_\mathrm{b}}{B}=\frac{R_\mathrm{b}}{2R_\mathrm{s}}=\frac{R_\mathrm{b}}{2\frac{R_\mathrm{b}}{\log_2M}}=\frac{\log_2M}2\mathrm{~bit}\cdotp\mathrm{s}^{-1}\cdotp\mathrm{Hz}^{-1}\]

若 \(M=64\)，则 64QAM 的频带利用率为 \(3 \mathrm{~bit~}\cdotp\mathrm{s}^{-1}\cdotp\mathrm{Hz}^{-1}\)。

调制和解调

调制过程

产生矩形星座 MQAM 信号的原理框图如下图所示。

MQAM调制原理框图

在上图中，输入二进制序列 \(\{a_k\}\)，经串并变换后成为速率减半的双比特并行码元，此双比特并行码元在时间上是对齐的。在同相及正交支路又将速率为 \(R_\mathrm{b}/2\) 的每 \(K/2\) 个比特码元变换为相应的 \(\sqrt{M}\) 个可能幅度之一，形成 \(\sqrt{M}\) 进制幅度序列，再经成形滤波后，得到 \(I(t)\) 及 \(Q(t)\) 的 \(\sqrt{M}\) 进制 PAM 基带信号 (数学期望为 0)，然后将 \(I(t)\) 及 \(Q(t)\) 分别对正交载波进行 \(\sqrt{M}\) 进制 ASK 调制，两者之和即为矩形星座的 QAM 信号。

矩形星座 16QAM 的信号空间图示例如下：

16QAM信号空间图

解调过程

为分析简单，暂设发送成形滤波的 \(g_r(t)\) 是矩形不归零脉冲。在加性白高斯噪声信道条件下，其最佳接收框图如下图所示。

MQAM最佳接收

图中，分别按同相及正交支路的 \(\sqrt{M}\) 进制 ASK 进行解调，在采样、判决后经并串变换恢复数据。

矩形星座 QAM 的最佳接收误符率与 MASK 的一样，取决于数字基带 MPAM 的误符率。

MQAM 的正确判决符号的概率为

\[P_{\mathrm{c}}=(1-P_{\sqrt{M}})^{2}\]

式中，\(P_{\sqrt{M}}\) 表示同相或正交支路 \(\sqrt{M}\) 进制 ASK 的误符率，该 \(\sqrt{M}\) 进制 ASK 的平均功率是 MQAM 信号总的平均功率 \(P_\mathrm{s}\) 的一半，即

\[ \begin{aligned} P_{\sqrt{M}}&=2\left(1-\frac1{\sqrt{M}}\right)Q\left[\sqrt{\frac{3P_sT_s}{(M-1)N_0}}\right]\\ &=2\left(1-\frac1{\sqrt{M}}\right)Q\left[\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right] \\ &=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)Q\left[\sqrt{\frac{3\mathrm{log}_{2}M}{(M-1)}\cdot\frac{E_{\mathrm{b}}}{N_{0}}}\right]\\ &=2\left(1-\frac{1}{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{d_{\min}^2}{2N_0}}\right) \end{aligned} \]

MQAM 误符率为

\[P_M=1-P_\text{c}=1-(1-P_{\sqrt M})^2=2P_{\sqrt M}-P_{\sqrt M}^2\]

MQAM 的误符率曲线如图所示：

MQAM误符率曲线

在相同的 \(E_{\mathrm{b}}/N_{\mathrm{o}}\) 条件下，随着 \(M\) 的增大，QAM 的误符率增大。当采用格雷码，且 \(E_{\mathrm{b}}/N_{\mathrm{o}}\) 较大时，MQAM 的误比特率近似等于误符率除以 \(\log_2M\)，即

\[P_\mathrm{b}\approx\frac{P_M}{\log_2M}\]

下面，将 MQAM 与 MPSK 的误符率进行比较： MPSK 的误符率为

\[P_M\approx2Q\left(\sqrt{2\frac{E_s}{N_0}\cdot\sin^2\frac\pi M}\right)\]

MQAM 的误符率为

\[P_M\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\cdot\frac{E_s}{N_0}}\right)\]

在相同的 \(M\)、\(T_\mathrm{s}\) 及相同的 \(E_\mathrm{s}/{N}_\mathrm{o}\) 条件下，比较 MQAM 与 MPSK 误符率公式中的两个 Q 函数中的自变量比值，因为误符率主要取决于 Q 函数中的自变量。

\[R_M=\frac{\frac3{M-1}}{2\sin^2\frac\pi M}\]

下表表示 MQAM 与 MPSK 在给定 \(M\) 值条件下，两个 Q 函数中的自变量的比值。

M	\(10\lg R_M\)	M	\(10\lg R_M\)
8	1.65	32	7.02
16	4.20	64	9.95

当 \(M>4\) 时，\(R_{M}>1\)，如：32QAM 比 32PSK 有 7dB 改善量，说明在相同的 \(E_{\mathrm{b}}/N_{\mathrm{o}}\) 条件下，32QAM 的误符率比 32PSK 的误符率小得多。所以在实际通信中，在 \(M > 8\) 的情况下，往往采用 MQAM 调制方式。

综上所述，MASK、MPSK 及 MQAM 的频带利用率相同，但在相同的 \(E_\mathrm{b}/N_\mathrm{o}\) 条件下， \(M>2\) 的 MPSK 误符率小于 MASK 的误符率；而在 \(M>4\) 情况下，MQAM 的误符率小于 MPSK 的误符率。