四相移相键控

本页面主要介绍四相移相键控的定义、性质和解调方式

定义

四相移相键控(QPSK)又名四进制移相键控，该信号的正弦载波有 4 个可能的离散相 位状态，每个载波相位携带 2 个二进制符号，其信号表示式为

\[s_{i}(t)=A \cos ( \omega _{\mathrm{c} }t+ \theta _{i})\quad i= 1, 2, 3, 4 \quad 0\leqslant t\leqslant T_{\mathrm{s} }\]

\(T_{\mathrm{s}}\) 为四进制符号间隔，\(\theta_i(i=1,2,3,4)\) 为正弦载波的相位，有 4 种可能状态。

若 \(\theta_i=(i-1)\frac\pi2\)，则 \(\theta_i\) 为 0、\(\frac\pi2\)、\(\pi\)、\(\frac32\pi\)，此初始相位为 0 的 QPSK 信号的矢量图示于下图 (a) 所示：

若 \(\theta_i=(2i-1)\frac\pi4\)，则 \(\theta_\mathrm{i}\) 为 \(\pi/4\)、\(3\pi/4\)、\(5\pi/4\)、\(7\pi/4\)，此初始相位为 \(\pi/4\) 的 QPSK 信号的矢量图示与下图 (b) 所示。

下面，着重分析图 (b) 的 QPSK 信号的产生及其解调。

将信号表示式写成

\[s_{i}( t) = A\cos ( \omega _{\mathrm{c} }t+ \theta _{i}) = A( \cos \theta _{i}\cos \omega _{\mathrm{c} }t- \sin \theta _{i}\sin \omega _{\mathrm{c} }t) \quad 0\leqslant t\leqslant T_{\mathrm{s} }\]

若 \(\theta_i\) 为 \(\pi/4\)、\(3\pi/4\)、\(5\pi/4\)、\(7\pi/4\)，则

\[\mathrm{cos}\theta_i=\pm\frac1{\sqrt{2}};\quad\sin\theta_i=\pm\frac1{\sqrt{2}}\]

于是，信号表示式可写成

\[s_i(t)=\frac{A}{\sqrt{2}}[I(t)\cos\omega_\mathrm{c}t-Q(t)\sin\omega_\mathrm{c}t]\]

\[I(t)=\pm1\quad Q(t)=\pm1\quad0\leqslant t\leqslant T_s\]

根据上式可得到下图所示的正交调制框图。

信息速率为 \(R_\mathrm{b}\) 的二进制序列 \(\{a_k\}\) (取值为 +1 或 -1)，串并变换后分成两路速率减半的二进制序列，得到基带信号波形 \(I(t)\) 及 \(Q(t)\)，这两路码元在时间上是对齐的，称这两支路为同相支路及正交支路，将它们分别对正交载波 \(\cos\omega_{\mathrm{c}}t\) 及 \(-\sin\omega_{\mathrm{c}}t\) 进行 2PSK 调制，再将这两支路的 2PSK 信号相加即可得到 QPSK 信号。

串并变换示例如下：

将二进制序列进行串并变换，其实质是完成二进制与四进制符号的变换，称并行支路所对应的每一对比特 \(a_{2n}\) 及 \(a_{2n-1}\) 为双比特码元，其符号间隔为四进制符号间隔(\(T_s=2T_{\mathrm{b}}\))，每一组双比特码元与四进制符号之一相对应，而每个四进制符号 \((i=1,2,3,4)\) 又与 QPSK 信号的载波相位 \(\theta_i\) 相对应，称 QPSK 的载波相位 \(\theta_i\) 与它所携带的双比特码元之间的关系为相位逻辑关系。用上述正交调制法所产生的QPSK的相位逻辑关系可通过下表作进一步解释。

四进制码	双比特码	载波相位 \(\theta_i\)
0	0 0	\(\dfrac{\pi}{4}\)
1	1 0	\(\dfrac{3 \pi}{4}\)
2	1 1	\(\dfrac{5 \pi}{4}\)
3	0 1	\(\dfrac{7 \pi}{4}\)

QPSK的载波相位与双比特码之间的关系正好符合格雷码的相位逻辑，即相邻四进制符号所对应的双比特码之间仅相差一个二进制符号。

采用格雷码的相位逻辑的优点是：若QPSK信号在信道传输中受到加性噪声干扰，在噪声不太大时，接收到的载波相位有可能接近相邻的载波相位，在解调时，会发生错判为相邻四进制符号的现象，在从四进制符号译为双比特二进制码时，若采用格雷码逻辑关系，则在两个比特符号中仅错一个比特符号，这样可减小误比特率，所以希望QPSK的相位逻辑符合格雷编码的关系。

性质

功率谱密度

由于 QPSK 信号是由两正交载波的 2PSK 线性叠加而成，所以 QPSK 信号的平均功率谱密度是同相支路及正交支路 2PSK 信号平均功率谱密度的线性叠加。

由 2PSK 的功率谱推导过程可知，2PSK 信号的平均功率谱密度公式为

\[P_{_{2PSK}}(f)=\frac{A^2\:T_\mathrm{b}}{4}\left\{\left[\frac{\sin\:\pi(\:f-f_\mathrm{c}\:)\:T_\mathrm{b}}{\pi(\:f-f_\mathrm{c}\:)\:T_\mathrm{b}}\right]^2+\left[\frac{\sin\:\pi(\:f+f_\mathrm{c}\:)\:T_\mathrm{b}}{\pi(\:f+f_\mathrm{c}\:)\:T_\mathrm{b}}\right]^2\right\}\]

假设 QPSK 与 2PSK 的信息速率及发送信号平均功率均一致，则 QPSK 信号每个支路的PSK 信号的振幅为 \(\frac A{\sqrt{2}}\)，符号间隔 \(T_{\mathrm{s} }= 2T_{\mathrm{b} }\)，QPSK 的总功率谱是两支路功率谱之和，于是，得到 QPSK 功率谱为

\[ \begin{aligned} P_{\mathrm{QPSK}}(f)&=2\:\frac{\left(\frac{A}{\sqrt{2}}\right)^{2}T_{\mathrm{s}}}{4}\left\{\left[\frac{\sin\pi(f-f_{\mathrm{c}})T_{\mathrm{s}}}{\pi(f-f_{\mathrm{c}})T_{\mathrm{s}}}\right]^{2}+\left[\frac{\sin\pi(f+f_{\mathrm{c}})T_{\mathrm{s}}}{\pi(f+f_{\mathrm{c}})T_{\mathrm{s}}}\right]^{2}\right\} \\ &=\frac{A^2T_\mathrm{b}}{2}\left\{\left[\frac{\sin2\pi(f-f_\mathrm{c})T_\mathrm{b}}{2\pi(f-f_\mathrm{c})T_\mathrm{b}}\right]^2+\Big[\frac{\sin2\pi(f+f_\mathrm{c})T_\mathrm{b}}{2\pi(f+f_\mathrm{c})T_\mathrm{b}}\Big]^2\right\} \end{aligned} \]

可以画出 2PSK 信号及 QPSK 信号的平均功率谱密度图，如下图所示。

在 2PSK 及 QPSK 的二进制信息速率相同时，QPSK 信号的平均功率谱密度的主瓣宽度是 2PSK 平均功率谱主瓣宽度的一半。

解调

相干解调

在加性白高斯噪声干扰的信道条件下，利用匹配滤波器或相关解调器进行 QPSK 的解调，上图为 QPSK 最佳接收框图。

由于 QPSK 信号可看为同相及正交支路 2PSK 的叠加，所以在解调时可对两路信号分别进行 2PSK 的解调，然后进行并串变换，得到所传输的数据。

计算 QPSK 解调的误比特率有两种方法：一是先计算误符率(平均错判四进制符号的概率),然后再根据误符率计算从四进制符号译为二进制符号的误比特率；另一计算方法是沿用 2PSK 匹配滤波器解调的误比特率计算公式。下面，采用第二种方法来进行计算。

在加性白高斯噪声信道条件下，2PSK 最佳接收的平均误比特率为

\[P_\text{b}=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\Big(\sqrt{\frac{A^2\:T_\text{b}}{2N_0}}\Big)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\Big(\sqrt{\frac{E_\text{b}}{N_0}}\Big)\]

对于 QPSK 而言，在 QPSK 与 2PSK 的输入二进制信息速率相同，二者的发送功率相同，加性噪声的单边功率谱密度 \(N_{\mathrm{o}}\) 相同的条件下，QPSK 与 2PSK 的平均误比特率是相同的，说明如下。

在给定二进制信息速率的条件下，QPSK 的同相支路及正交支路的四进制符号速率是二进制信息速率的一半，即 \(T_{\mathrm{s}}=2T_{\mathrm{b}}\)。在给定信号总发送功率的条件下，QPSK 同相支路或正交支路的信号功率是总发送功率的一半。于是，得到 I 支路及 Q 支路的平均错判概率为

\[P_{\mathrm{eI}}=P_{\mathrm{eQ}}=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left[\sqrt{\frac{\left(\frac{A}{\sqrt{2}}\right)^{2}\left(2T_{\mathrm{b}}\right)}{2N_{0}}}\right]=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{\mathrm{b}}}{N_{0}}}\right)\]

其中 \(E_\mathrm{b}=\frac{A^{2}}2T_\mathrm{b}\)，是平均比特能量。

由于 QPSK 发端信源输出的二进制符号“1”和“0”等概出现，二进制码元经串并变换后在同相支路及正交支路也是等概分布的，所以在收端的同相及正交支路解调的输出经并串变换后的数据，其总的平均误比特率与 I 支路或 Q 支路的平均误判概率是相同的，即

\[P_\mathrm{b}=P_\mathrm{I}P_\mathrm{el}+P_\mathrm{Q}P_\mathrm{eQ}\]

其中，\(P_{\mathrm{l}}\) 及\(P_{\mathrm{Q}}\)分别是总的二进制码元出现在 I 支路或 Q 支路的概率，\(P_{\mathrm{I}}=P_{\mathrm{Q}}=\frac{1}{2}\),因而 QPSK 的平均误比特率为

\[P_\text{b}=P_\text{eI}=P_\text{eQ}=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\text{b}}{N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2E_\text{b}}{N_0}}\right)\]

理想限带条件

在理想限带及加性白高斯噪声信道条件下的 QPSK 最佳频带传输系统的框图如下图所示，它在实际限带通信系统中获广泛应用。

若发端信源的“1”和“0”等概率出现，其最佳接收的平均误比特率为

\[P_\text{b}=\frac{1}{2}\text{erfc}\Big(\sqrt{\frac{E_\text{b}}{N_0}}\Big)=Q\Big(\sqrt{\frac{2E_\text{b}}{N_0}}\Big)\]

综上所述，将 QPSK 与 2PSK 相比较，在两者的信息速率、信号发送功率、噪声功率谱密度相同的条件下，QPSK 与 2PSK 的平均误比特率是相同的，而 QPSK 的功率谱主瓣宽度比 2PSK 的窄一半。