二进制通断键控

本页面主要介绍二进制通断键控的定义、性质和接受方式

定义

通断键控（OOK: ON-Off Keying）又名二进制振幅键控（2ASK），其使用单极性不归零码序列来控制正弦载波的导通与关闭。

上图的二进制序列 $\{a_n\}$ 的取值为 1 或 0，$T_{\mathrm{b}}$ 为二进制符号间隔，发送脉冲成形低通滤波器的冲激响应为 $g_{\mathrm{T}}(t)$，$g_{\mathrm{T}}(t)$ 可能是升余弦滚降滤波器的冲激响应，为分析简单起见，暂设 $g_{\mathrm{T}}(t)$ 为矩形不归零脉冲。 二进制序列 $\left\{a_n\right\}$ 通过脉冲成形低通滤波后的基带信号为

$$b(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{g}_{\text{ T}}(t-n{T}_{\text{ b}})$$

其中，$b(t)$ 为单极性不归零矩形脉冲序列。 将此 $b(t)$ 与载波相乘，得到 OOK 信号(载频 $f_{\mathrm{c}}$ 比二进制符号速率 $R_{\mathrm{b}}$ 大得多):

$$s_{(0)\text{K}}(t)=A[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{g}_{\text{T}}(t-n{T}_{\text{b}})]\cos {\omega }_{\text{c}}t$$

若 $g_{\mathrm{T}}(t)$ 是矩形不归零脉冲，在 $0⩽t⩽T_{\mathrm{b}}$ 期间，OOK 信号也可表示为如下形式：

$$s_{\mathrm{OOK}}(t)=\{\begin{array}{ll}{s}_1(t)=A\cos {\omega }_{\mathrm{c}}t& \text{“传号”}\\ s_2(t)=0& \text{“空号”}\end{array}0⩽t⩽T_{\mathrm{b}}$$

上式中的“传号”及“空号”是引用电报术语，分别表示二进制符号。

矢量表示

前置知识：波形的矢量表示

OOK 信号波形表示式为

$$s(t)=\{\begin{array}{l}{s}_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_1}{T_{\mathrm{b}}}}\cos {\omega }_{\mathrm{c}}t\\ \\ s_2\left(t\right)=0\end{array}0\le t\le T_b$$

其中 $s_1(t)$ 的信号能量为 $E_1,s_2(t)$ 的信号能量 $E_2=0$。归一化正交基函数为

$$f_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T_{\mathrm{b}}}}\cos {\omega }_{\mathrm{c}}t0⩽t⩽T_{\mathrm{b}}$$

OOK 信号波形的正交展开式为

$$s(t)=\{\begin{array}{ll}{s}_1\left(t\right)=\sqrt{E_1}{f}_1\left(t\right)& 0⩽t⩽T_{\mathrm{b}}\\ \\ s_2\left(t\right)=0& 0⩽t⩽T_{\mathrm{b}}\end{array}$$

OOK 信号的一维矢量表示式为

$$\begin{array}{rl}& s_i=\left[\begin{array}{c}{s}_{i1}\end{array}\right]i=1\text{ 或 }2\\ & s_{i1}={\int }_0^{T_{\mathrm{b}}}{s}_i\left(t\right)f_1\left(t\right)\mathrm{d}t\\ & s_{11}=\sqrt{E_1}\\ & s_{21}=0\\ & s_1=\left[\sqrt{E_1}\right]\\ & s_2=\left[0\right]\end{array}$$

OOK 信号的信号空间图如下图所示：

OOK 信号的两信号矢量之间的欧氏距离 $d_{12}=\sqrt{E_1}$，两信号矢量之间的互相关系数 ${\rho }_{12}=0$。

性质

功率谱密度

OOK 信号是以 $b(t)$ 为基带调制信号的 DSB 调制，因此 OOK 的功率谱密度是基带信号功率谱密度的频谱搬移：

$$P_{\mathrm{s}}(f)=\frac{A^2}{4}[P_{\mathrm{b}}(f-f_{\mathrm{c}})+P_{\mathrm{b}}(f+f_{\mathrm{c}})]$$

OOK 调制的数字基带信号 $b(t)$ 是单极性不归零矩形脉冲序列，其双边平均功率谱密度中含有离散的直流分量及连续谱：

因而 OOK 信号的双边功率谱密度中含有离散的载频分量及连续谱，其平均功率谱密度的主瓣宽度为 $2R_{\mathrm{b}}(R_{\mathrm{b}}$ 是二进制信息速率，如下图所示。

OOK 功率谱中的离散载频分量使得在接收端的载波提取电路实现简单，所提取的载波可用于相干解调。

解调方式

相干解调

接收机可以采用对 $s_1(t)$ 匹配的匹配滤波器来解调，如下图所示。

图中带通匹配滤波器的冲激响应为

$$h(t)=s_1(T_{\text{b}}-t)=\{\begin{array}{ll}A\cos (2\pi f_{\text{c}}t-2\pi f_{\text{c}}{T}_{\text{b}}),& 0⩽t⩽T_{\text{b}}\\ 0,& \text{else}\end{array}$$

$s_1(t)$ 是带通信号，其复包络为

$$s_{1,\mathrm{L}}(t)=A\cdot \mathrm{rect}(\frac{t}{T_{\mathrm{b}}}-\frac{1}{2})$$

带通滤波器的等效基带冲激响应为

$$h_{\mathrm{e}}(t)=\frac{1}{2}{h}_{\mathrm{L}}(t)=\frac{A}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}{T}_{\mathrm{b}}}\bullet \mathrm{rect}(\frac{t}{T_{\mathrm{b}}}-\frac{1}{2})$$

不考虑噪声，发送 $s_1(t)$ 时，滤波器输出的复包络是 $s_{1,\mathrm{L}}(t)$ 与 $h_{\mathrm{e}}(t)$ 的卷积，结果为

$$y_{\mathrm{L}}(t)=\frac{A^2{T}_{\mathrm{b}}}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}{T}_{\mathrm{b}}}q(t-T_{\mathrm{b}})$$

其中

$$q(t)=\{\begin{array}{ll}1-{\displaystyle \frac{\mid t\mid }{T_{\mathrm{b}}}},& \mid t\mid ⩽T_{\mathrm{b}}\\ \\ 0,& \mid t\mid >T_{\mathrm{b}}\end{array}$$

输出波形

$s_1(t)$ 通过带通匹配滤波器的波形

输出带通信号为

$$\begin{array}{rl}y(t)& =\mathrm{Re}\{y_{\mathrm{L}}(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}t}\}\\ & =E_{1}q(t-T_{\mathrm{b}})\cos (2\pi f_{\mathrm{c}}t-2\pi f_{\mathrm{c}}{T}_{\mathrm{b}})\end{array}$$

其中 $E_1=A^2{T}_{\mathrm{b}}/2$ 是 $s_1(t)$ 的能量。

高斯白噪声通过滤波器的输出是零均值平稳高斯过程。$h(t)$ 的能量是 $E_{\mathrm{h}}=E_1$,故输出噪声的方差为

$${\sigma }^2=\frac{N_0}{2}{E}_{\mathrm{h}}=\frac{N_0}{2}{E}_1$$

考虑发送 $s_1(t),s_2(t)$ 以及噪声后，判决器的输入可以表示为

$$y=y(T_{\mathrm{b}})=a{E}_1+Z$$

其中 $a$ 取值于 1 或 0，分别对应发送 $s_1(t)$ 或 $s_2(t)$。$Z$ 是噪声分量，其均值为 0,方差为上方的 ${\sigma }^2$。

取判决门限为 $E_1$ 和 0 的中点：$V_{\mathrm{T}}=E_1/2$。发送 $s_2(t)$ 时的判决错误率为

$$P(e\mid s_2)=P(0+Z>V_{\mathrm{T}})=P(Z>\frac{E_1}{2})=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}})$$

发送 $s_1(t)$ 时的判决错误率为

$$P(e\mid s_1)=P(E_1+Z<\frac{E_1}{2})=P(Z<-\frac{E_1}{2})=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}}\right)$$

假设发送 $s_1(t),s_2(t)$ 的概率相同，则平均比特能量是 $E_{\mathrm{b}}=E_{}/2$，平均误比特率为

$$P_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{\mathrm{b}}}{2N_0}}\right)$$

注意到在图 6.2.4 中，判决器输入的采样值是

$$y(T_{\mathrm{b}})={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}r(\tau )h(T_{\mathrm{b}}-\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}r(\tau )s_1(\tau )\mathrm{d}\tau$$

这是 $r(t)$ 与 $s_1(t)$ 的内积，因此带通匹配滤波器可以等价为下图的形式，称为相关解调器。

完整的收发流程如下

在前面的讨论中，基带脉冲 $g_{\mathrm{T}}(t)$ 是不归零矩形脉冲。当信道带宽受限时，发送成形滤波以及基带匹配滤波的设计既要满足无符号间干扰，又要实现最佳接收。

此时可将上图中的发送成形滤波设计为根号升余弦滚降特性，即 $G_{\mathrm{T}}(f)=G_{\mathrm{R}}(f)=\sqrt{X_{\mathrm{ros}}(f)}$。误比特率公式仍然为：

$$P_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{\mathrm{b}}}{2N_0}}\right)$$

非相干解调

相干解调中的带通匹配滤波器必须要和 $s_1(t)$ 完全匹配，如果 $s_1(t)$ 的相位发生变化时，匹配滤波器的冲激响应 $h(t)=s_1(T_b-t)$ 也包含着相应的相位信息。这意味着接收机必须要已知接收信号的载波相位，故此属于相干解调。

假设发送信号为

$$s_1\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}A\cos (2\pi f_{c}t+\varphi ),& 0⩽t⩽T_b\\ \\ 0,& \text{else}\end{array}$$

其复包络是

$$s_{{}_{1,L}}(t)=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }\bullet \mathrm{rect}(\frac{t}{T_{{}_b}}-\frac{1}{2})$$

假设接收机未知 $\varphi$，匹配滤波器仍然按 $\varphi =0$ 来设计为

$$h\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}A\cos (2\pi f_{\text{c}}t-2\pi f_{\text{c}}{T}_{\text{b}}),& 0⩽t⩽T_{\text{b}}\\ \\ 0,& \text{else}\end{array}$$

那么输出复包络将成为

$$y_{\mathrm{L}}(t)=E_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}{T}_{\mathrm{b}}}q(t-T_{\mathrm{b}})$$

输出带通信号在 $T_{\mathrm{b}}$ 时刻的采样值为

$$y(T_{\mathrm{b}})=\mathrm{Re}\{y_{\mathrm{L}}(T_{\mathrm{b}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}t}\}=E_1\cos \varphi$$

其中的因子 $\cos \varphi$ 将使有用信号的能量下降，严重时(如 $\varphi =\pi /2$)甚至无输出。 注意到 $y(t)$ 在 $T_{\mathrm{b}}$ 时刻的包络 $|y_{\mathrm{L}}(t)|=E_1$ 完全不受 $\varphi$ 的影响，故可将滤波器输出先通 过一个包络检波器，然后进行采样。这就构成了 OOK 的非相干解调，如下图所示。

匹配滤波器输出端在 $t=T_{\mathrm{b}}$ 时刻的复包络值可以表示为

$$y(T_{\mathrm{b}})=a{E}_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }+Z=(a{E}_1+Z^{\prime }){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }$$

其中 $Z$ 是高斯噪声分量，其均值为零，实部虚部独立同分布且方差均为 ${\sigma }^2=\frac{N_0}{2}{E}_1$。$Z^{\prime }=Z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\varphi }$ 与 $Z$ 同分布。

判决器的输入是

$$v=\mid y(T_{\mathrm{b}})\mid =\mid a{E}_1+Z^{\prime }\mid$$

无噪声时，$v$ 取值于 $E_1$ 或 0。有噪声时可取判决门限为 $V_{\mathrm{T}}=E_{{}_1}/2$，$v$ 若高于判决门限就判发送的是 $s_1(t)$，否则判发送 $s_2(t)$。

发送 $s_2(t)$ 时，$a=0,v=|Z^{\prime }|$ 是瑞利分布的随机变量，其概率密度函数为

$$p(v|s_2)=\frac{v}{{\sigma }^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{v^2}{2{\sigma }^2}}$$

判决错误率为

$$P(e|s_2)=P(v>\frac{E_1}{2})={\int }_{\frac{E_1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{v}{{\sigma }^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{v^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}v={\mathrm{e}}^{-\frac{E_1}{4N_0}}$$

发送 $s_1(t)$时，$a=1$，$v=|E_1+Z^{\prime }|$ 是莱斯分布的随机变量，但当信噪比比较高时，近似有

$$v=\mid E_1+Z^{\prime }\mid \approx E_1+\mathrm{Re}\{Z^{\prime }\}$$

判决错误率为

$$P(e\mid s_1)=P(v<\frac{E_1}{2})\approx P(\text{Re}\{Z^{\prime }\}<-\frac{E_1}{2})=\frac{1}{2}\text{erfc}(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}})$$

平均误比特率为

$$P_{\text{b}}=\frac{1}{2}P(e|s_1)+\frac{1}{2}P(e|s_2)\approx \frac{1}{4}\mathrm{erfc}(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}})+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{E_1}{4N_0}}$$

高信噪比条件下最后一项起主要作用，代入 $E_{\mathrm{i}}=2E_{\mathrm{b}}$，平均误比特率为

$$P_{\mathrm{b}}\approx \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{E_{\mathrm{b}}}{2N_0}}$$

误比特率曲线对比