二进制通断键控

本页面主要介绍二进制通断键控的定义、性质和接受方式

定义

通断键控（OOK: ON-Off Keying）又名二进制振幅键控（2ASK），其使用单极性不归零码序列来控制正弦载波的导通与关闭。

上图的二进制序列 \(\{a_n\}\) 的取值为 1 或 0，\(T_\mathrm{b}\) 为二进制符号间隔，发送脉冲成形低通滤波器的冲激响应为 \(g_{\mathrm{T}}(t)\)，\(g_{\mathrm{T}}(t)\) 可能是升余弦滚降滤波器的冲激响应，为分析简单起见，暂设 \(g_{\mathrm{T}}(t)\) 为矩形不归零脉冲。 二进制序列 \(\left\{a_n\right\}\) 通过脉冲成形低通滤波后的基带信号为

\[b(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ng_\text{ T}(t-nT_\text{ b})\]

其中，\(b(t)\) 为单极性不归零矩形脉冲序列。 将此 \(b(t)\) 与载波相乘，得到 OOK 信号(载频 \(f_{\mathrm{c}}\) 比二进制符号速率 \(R_{\mathrm{b}}\) 大得多):

\[s_{(0)\text{K}}(t)=A\Big[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\:g_{\text{T}}(t-nT_{\text{b}})\Big]\cos\omega_{\text{c}}t\]

若 \(g_{\mathrm{T}}(t)\) 是矩形不归零脉冲，在 \(0 \leqslant t\leqslant T_{\mathrm{~b~}}\) 期间，OOK 信号也可表示为如下形式：

\[s_{\mathrm{OOK}}(t)=\begin{cases}s_1(t)=A\cos\omega_\mathrm{c}t&\text{“传号”}\\s_2(t)=0&\text{“空号”}\end{cases}\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{b}\]

上式中的“传号”及“空号”是引用电报术语，分别表示二进制符号。

矢量表示

前置知识：波形的矢量表示

OOK 信号波形表示式为

\[s(t)= \begin{cases} s_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_1}{T_\mathrm{b}}}\cos\omega_\mathrm{c}t \\ \\ s_2\left(t\right)=0 \end{cases} ~ 0 \leq t \leq T_b \]

其中 \(s_1(t)\) 的信号能量为 \(E_1,s_2(t)\) 的信号能量 \(E_2=0\)。归一化正交基函数为

\[f_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T_\mathrm{b}}}\cos\omega_\mathrm{c}t\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{b}\]

OOK 信号波形的正交展开式为

\[s(t)=\begin{cases}s_1\left(t\right)=\sqrt{E_1}f_1\left(t\right)&\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{b}\\\\s_2\left(t\right)=0&\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{b}\end{cases}\]

OOK 信号的一维矢量表示式为

\[ \begin{aligned} &s_{i}=\begin{bmatrix}s_{i1}\end{bmatrix}\quad i=1\text{ 或 }2\\ &s_{i1}=\int_{0}^{T_{\mathrm{b}}}s_{i}\left(t\right)f_{1}\left(t\right)\mathrm{d}t\\ &s_{11}=\sqrt{E_{1}}\\ &s_{21}=0\\ &s_{1}=\left[\sqrt{E_{1}}\right] \\ &s_2 = \left[0\right] \end{aligned}\]

OOK 信号的信号空间图如下图所示：

OOK 信号的两信号矢量之间的欧氏距离 \(d_{12}=\sqrt{E_1}\)，两信号矢量之间的互相关系数 \(\rho_{12}=0\)。

性质

功率谱密度

OOK 信号是以 \(b(t)\) 为基带调制信号的 DSB 调制，因此 OOK 的功率谱密度是基带信号功率谱密度的频谱搬移：

\[P_{\mathrm{s} }(f) = \frac {A^{2}}4\left [ P_{\mathrm{b} }(f- f_{\mathrm{c} }) + P_{\mathrm{b} }(f+ f_{\mathrm{c} }) \right ]\]

OOK 调制的数字基带信号 \(b(t)\) 是单极性不归零矩形脉冲序列，其双边平均功率谱密度中含有离散的直流分量及连续谱：

因而 OOK 信号的双边功率谱密度中含有离散的载频分量及连续谱，其平均功率谱密度的主瓣宽度为 \(2 R_\mathrm{b}(R_\mathrm{b}\) 是二进制信息速率，如下图所示。

OOK 功率谱中的离散载频分量使得在接收端的载波提取电路实现简单，所提取的载波可用于相干解调。

解调方式

相干解调

接收机可以采用对 \(s_1(t)\) 匹配的匹配滤波器来解调，如下图所示。

图中带通匹配滤波器的冲激响应为

\[h(t)=s_1(T_\text{b}-t)=\begin{cases}A\cos(2\pi f_\text{c}t-2\pi f_\text{c}T_\text{b}),&0\leqslant t\leqslant T_\text{b}\\0,&\text{else}\end{cases}\]

\(s_1(t)\) 是带通信号，其复包络为

\[s_{1,\mathrm{L}}(t)=A\cdot\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_{\mathrm{b}}}-\frac{1}{2}\right)\]

带通滤波器的等效基带冲激响应为

\[h_{\mathrm{e}}(t)=\frac{1}{2}h_{\mathrm{L}}(t)=\frac{A}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}T_{\mathrm{b}}}\bullet\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_{\mathrm{b}}}-\frac{1}{2}\right)\]

不考虑噪声，发送 \(s_1(t)\) 时，滤波器输出的复包络是 \(s_{1,\mathrm{L}}(t)\) 与 \(h_{\mathrm{e}}(t)\) 的卷积，结果为

\[y_{\mathrm{L}}(t)=\frac{A^2\:T_{\mathrm{b}}}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}T_{\mathrm{b}}}q(t-T_{\mathrm{b}})\]

其中

\[q(t)=\begin{cases}1-\dfrac{\mid t\mid}{T_\mathrm{b}},&\mid t\mid\leqslant T_\mathrm{b}\\\\0,&\mid t\mid>T_\mathrm{b}\end{cases}\]

输出波形

\(s_1(t)\) 通过带通匹配滤波器的波形

输出带通信号为

\[ \begin{aligned} y(t)&=\mathrm{Re}\{y_{\mathrm{L}}(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}t}\} \\ &=E_{1}q(t-T_{\mathrm{b}})\cos(2\pi f_{\mathrm{c}}t-2\pi f_{\mathrm{c}}T_{\mathrm{b}}) \end{aligned} \]

其中 \(E_1=A^2T_{\mathrm{b}}/2\) 是 \(s_1(t)\) 的能量。

高斯白噪声通过滤波器的输出是零均值平稳高斯过程。\(h(t)\) 的能量是 \(E_\mathrm{h}=E_1\),故输出噪声的方差为

\[\sigma^2=\frac{N_0}{2}E_\mathrm{h}=\frac{N_0}{2}E_1\]

考虑发送 \(s_1(t),s_2(t)\) 以及噪声后，判决器的输入可以表示为

\[y=y(T_{\mathrm{b}})=aE_1+Z\]

其中 \(a\) 取值于 1 或 0，分别对应发送 \(s_1(t)\) 或 \(s_2(t)\)。\(Z\) 是噪声分量，其均值为 0,方差为上方的 \(\sigma^2\)。

取判决门限为 \(E_1\) 和 0 的中点：\(V_{\mathrm{T}}=E_1/2\)。发送 \(s_2(t)\) 时的判决错误率为

\[P(e\mid s_2)=P(0+Z>V_\mathrm{T})=P\Big(Z>\frac{E_1}{2}\Big)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\Big(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}}\Big)\]

发送 \(s_1(t)\) 时的判决错误率为

\[P(e\mid s_1)=P\left(E_1+Z<\frac{E_1}{2}\right)=P\left(Z<-\frac{E_1}{2}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}}\right)\]

假设发送 \(s_1(t),s_2(t)\) 的概率相同，则平均比特能量是 \(E_{\mathrm{b}}=E_{\mathrm{~}}/2\)，平均误比特率为

\[P_\mathrm{b}=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\mathrm{b}}{2N_0}}\right)\]

注意到在图 6.2.4 中，判决器输入的采样值是

\[y(T_\mathrm{b})=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h(T_\mathrm{b}-\tau)\:\mathrm{d}\tau=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)s_1(\tau)\:\mathrm{d}\tau \]

这是 \(r(t)\) 与 \(s_1(t)\) 的内积，因此带通匹配滤波器可以等价为下图的形式，称为相关解调器。

完整的收发流程如下

在前面的讨论中，基带脉冲 \(g_{\mathrm{T}}(t)\) 是不归零矩形脉冲。当信道带宽受限时，发送成形滤波以及基带匹配滤波的设计既要满足无符号间干扰，又要实现最佳接收。

此时可将上图中的发送成形滤波设计为根号升余弦滚降特性，即 \(G_{\mathrm{T}}(f)=G_{\mathrm{R}}(f)=\sqrt{X_{\mathrm{ros}}(f)}\)。误比特率公式仍然为：

\[P_\mathrm{b}=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\mathrm{b}}{2N_0}}\right)\]

非相干解调

相干解调中的带通匹配滤波器必须要和 \(s_1(t)\) 完全匹配，如果 \(s_1(t)\) 的相位发生变化时，匹配滤波器的冲激响应 \(h(t)=s_1(T_b-t)\) 也包含着相应的相位信息。这意味着接收机必须要已知接收信号的载波相位，故此属于相干解调。

假设发送信号为

\[s_1\left(t\right)=\begin{cases}A\cos\left(2\pi f_ct+\phi\right),&0\leqslant t\leqslant T_b\\\\0,&\text{else}\end{cases}\]

其复包络是

\[s_{_{1,L}}(t)=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}\bullet\mathrm{rect}\left(\frac t{T_{_b}}-\frac12\right)\]

假设接收机未知 \(\phi\)，匹配滤波器仍然按 \(\phi=0\) 来设计为

\[h\left(t\right)=\begin{cases}A\cos\left(2\pi f_\text{c}t-2\pi f_\text{c}T_\text{b}\right),&0\leqslant t\leqslant T_\text{b}\\\\0,&\text{else}\end{cases}\]

那么输出复包络将成为

\[y_{\mathrm{L}}(t)=E_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}T_{\mathrm{b}}}q(t-T_{\mathrm{b}})\]

输出带通信号在 \(T_\mathrm{b}\) 时刻的采样值为

\[y(T_\mathrm{b})=\mathrm{Re}\{y_\mathrm{L}(T_\mathrm{b})\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f_\mathrm{c}t}\}=E_1\cos\phi \]

其中的因子 \(\cos\phi\) 将使有用信号的能量下降，严重时(如 \(\phi=\pi/2\))甚至无输出。 注意到 \(y(t)\) 在 \(T_\mathrm{b}\) 时刻的包络 \(|y_\mathrm{L}(t)|=E_1\) 完全不受 \(\phi\) 的影响，故可将滤波器输出先通 过一个包络检波器，然后进行采样。这就构成了 OOK 的非相干解调，如下图所示。

匹配滤波器输出端在 \(t=T_\mathrm{b}\) 时刻的复包络值可以表示为

\[y(T_\mathrm{b})=aE_1\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}+Z=(aE_1+Z^{\prime})\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}\]

其中 \(Z\) 是高斯噪声分量，其均值为零，实部虚部独立同分布且方差均为 \(\sigma^2=\frac{N_0}2E_1\)。\(Z^\prime=Z\mathrm{e}^{-\mathrm{j\phi}}\) 与 \(Z\) 同分布。

判决器的输入是

\[v=\mid y(T_{\mathrm{b}})\mid=\mid aE_1+Z^{\prime}\mid \]

无噪声时，\(v\) 取值于 \(E_1\) 或 0。有噪声时可取判决门限为 \(V_{\mathrm{T}}=E_{_1}/2\)，\(v\) 若高于判决门限就判发送的是 \(s_1(t)\)，否则判发送 \(s_2(t)\)。

发送 \(s_2(t)\) 时，\(a=0,v=|Z^\prime|\) 是瑞利分布的随机变量，其概率密度函数为

\[p(v|s_2)=\frac{v}{\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{v^2}{2\sigma^2}}\]

判决错误率为

\[P(e|s_2)=P\Big(v>\frac{E_1}{2}\Big)=\int_{\frac{E_1}{2}}^{\infty}\frac{v}{\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{v^2}{2\sigma^2}}\mathrm{d}v=\mathrm{e}^{-\frac{E_1}{4N_0}}\]

发送 \(s_1(t)\)时，\(a=1\)，\(v=|E_1+Z^{\prime}|\) 是莱斯分布的随机变量，但当信噪比比较高时，近似有

\[v=\mid E_1+Z^{\prime}\mid\approx E_1+\mathrm{Re}\{Z^{\prime}\}\]

判决错误率为

\[P(e\mid s_1)=P\Big(v<\frac{E_1}{2}\Big)\approx P\Big(\text{Re}\{Z'\}<-\frac{E_1}{2}\Big)=\frac{1}{2}\text{erfc}\Big(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}}\Big)\]

平均误比特率为

\[P_\text{b}=\frac{1}{2}P(\:e\:|\:s_1\:)+\frac{1}{2}P(\:e\:|\:s_2\:)\approx\frac{1}{4}\mathrm{erfc}\Big(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}}\Big)+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{E_1}{4N_0}}\]

高信噪比条件下最后一项起主要作用，代入 \(E_{\mathrm{i}}=2E_{\mathrm{b}}\)，平均误比特率为

\[P_\mathrm{b}\approx\frac12\mathrm{e}^{-\frac{E_\mathrm{b}}{2N_0}}\]

误比特率曲线对比