二进制移相键控

本页面主要介绍二进制移相键控的定义、性质和解调方式

定义

2PSK信号的产生框图如下图所示。

2PSK 信号表示式为

\[s_{2\text{PSK}}\left(t\right)=A\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}g_{\text{T}}\left(t-nT_{\text{b}}\right)\right]\mathrm{cos}\omega_{\text{c}}t\]

其中 \(\left\{a_n\right\}\) 为双极性二进制数字序列，\(a_n\) 的取值为 +1 或 -1，两个电平等概率出现，方差 \(\sigma_{\mathrm{a}}^2=1\), 符号间互不相关，\(T_\mathrm{b}\) 为二进制符号间隔，\(g_\mathrm{\tau}(t)\) 为基带发送成形滤波器的冲激响应，为分析方便，暂设它具有不归零矩形脉冲形状，并设 \(A_{\mathrm{b}}=1\)。

矢量表示

前置知识：波形的矢量表示

2PSK 信号波形表示式为

\[s(t)=\begin{cases}s_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E_\mathrm{b}}{T_\mathrm{b}}}\cos\omega_\mathrm{c}t\\\\s_2\left(t\right)=-\sqrt{\frac{2E_\mathrm{b}}{T_\mathrm{b}}}\cos\omega_\mathrm{c}t\end{cases} ~~ 0\leq t\leqslant T_b\]

归一化正交基函数为

\[f_1\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{T_\mathrm{b}}}\cos\omega_\mathrm{c}t\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{b}\]

2PSK 信号的正交展开式为

\[s(t)=\begin{cases}s_1\left(t\right)=\sqrt{E_\mathrm{b}}f_1\left(t\right)\\\\s_2\left(t\right)=-\sqrt{E_\mathrm{b}}f_1\left(t\right)\end{cases} ~~ 0\leq t\leqslant T_b\]

\(s_1(t)\) 的能量为 \(E_{_1}=E_{_{\mathrm{b}}}\)，\(s_{_2}(t)\) 的能量为 \(E_{_2}=E_{_{\mathrm{b}}}\)。

2PSK 信号的一维矢量表示式为

\[ \begin{aligned} \mathrm{s}_{1}&=\begin{bmatrix}\sqrt{E_{\mathrm{b}}}\end{bmatrix}\\ \mathrm{s}_{2}&=\begin{bmatrix}-\sqrt{E_{\mathrm{b}}}\end{bmatrix} \end{aligned} \]

2PSK 信号波形的信号空间图如下图所示。

2PSK 两信号矢量之间的欧氏距离为

\[d_{12}=2\sqrt{E_{\mathrm{b}}}\]

两信号矢量之间的互相关系数为

\[\rho_{12}=-1\]

性质

功率谱密度

2PSK 信号的平均功率谱密度是将数字基带双极性不归零脉冲序列的平均功率谱密度搬移到载频，如下图所示。

2PSK 信号的平均功率谱密度计算公式为

\[P_{2\text{PSK}}(f)=\frac{A^2}{4}[P_{\text{b}}(f-f_{\text{c}})+P_{\text{b}}(f+f_{\text{c}})]\]

其中

\[P_\mathrm{b}(f)=T_\mathrm{b}\mathrm{sinc}^2(fT_\mathrm{b})\]

由于在传号与空号等概率出现时，双极性不归零脉冲序列的平均功率谱中无离散的直流分量，所以 2PSK 信号的平均功率谱中无离散的载频分量，仅有连续谱。

解调

相干解调

基带脉冲 \(g_{\mathrm{T}}(t)\)为矩形不归零脉冲时，2PSK 的两个发送波形是

\[\begin{cases}s_1\left(t\right)=A\cos2\pi f_\text{c}t\\s_2\left(t\right)=-A\cos2\pi f_\text{c}t\end{cases}0\leqslant t\leqslant T_\text{b}\]

其解调可以采用下图方式，这两种方式等价。

对于信道带宽受限的情形，\(g_T(t)\) 一般设计为频谱为根号升余弦滚降特性，此时的系统框图一般如下图所示。

2PSK 是双极性 PAM 的一种特殊情况，相当于是采用了频带脉冲的 PAM。双极性 PAM 最佳接收时的误比特率与脉冲形状无关，因此其误比特率仍然是

\[P_\mathrm{b}=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\Big(\sqrt{\frac{E_\mathrm{b}}{N_\mathrm{o}}}\Big)\]

由于在发端的传号、空号等概率出现时，2PSK信号的功率谱中没有离散的载频分量，所以在2PSK相干解调的载波恢复时，不能像OOK那样直接用窄带滤波器来提取载波，它需要将2PSK信号经非线性变换后产生出离散的载频分量，才能利用窄带滤波器将载频分量滤出来。如何同步参考同步载波提取

同步载波的恢复存在相位模糊，如果恢复载波的相位与接收信号的载波相位反相，将导致解调后的数据0、1反转。解决此问题的方法之一是采用差分移相键控(DPSK)。