部分响应系统

本页面主要介绍部分响应系统的设计，着重关注第一类部分响应系统的原理和性质。

设计来源

为了实现滤波器物理可实现，在实际应用中使用了升余弦滤波器，然而，升余弦滤波器的截止频率较高，频谱利用率稍低。

因此，为了解决这个问题，可以人为地引入码间干扰，提高频谱利用率。

它的基本设计思想是：在既定的信息传输速率下，采用相关编码法，在前后符号之间注入相关性，用来改变信号波形的频谱特性，使得传输的信号波形的频谱变窄，以达到提高系统频带利用率的目的。

其关键在于：该系统利用相关编码使限带系统的发送、接收滤波器既能物理可实现又可达到奈氏带宽的要求，但是另一方面相关编码会使该基带传输系统在收端采样时刻引入码间干扰，然而此码间干扰是受控的、已知的，所以在收端检测时可解除其相关性，恢复出原始数字序列。因此，利用相关编码引入受控码间干扰的基带传输系统，它的带宽为 W (单位为Hz)（奈氏带宽），以2W(单位为Baud)的奈氏速率进行传输，达到理论上最大频带利用率2 Baud/Hz，且又能用物理可实现滤波器近似实现其频率特性。

这样的系统形成的信号被称为部分响应信号，利用部分响应信号波形进行传输的基带传输系统称为部分响应系统。

以下以第一类部分响应系统为例，分析其原理和性质。

基本工作原理

以上是第一类部分响应基带传输系统的框图

该系统输入二进制序列 \(\left\{b_n\right\}\)，此二进制符号为“1”或“0”，符号之间互不相关，其信息速率为 \(R_{\mathrm{b}}\)，比特间隔为 \(T_{\mathrm{b}}(T_{\mathrm{b}}=1/R_{\mathrm{b}})\)。该信息序列输入于电平变换器，输出为二电平序列 \(\{a_n\}\)，\(\{a_n\}\) 的幅度为

\[a_n=\begin{cases}+1&b_n\text{为“1”}\\-1&b_n\text{为“0”}\end{cases}\]

将互不相关的二电平序列 \(\{a_n\}\) 输入于相关编码器，此相关编码器是将输入的二电平序列 \(\{a_n\}\) 与延迟 \(T_b\) 时间的 \(\{a_{n-1}\}\) 序列相加，得到三电平的序列 \(\{c_n\}\)。

\[c_n=a_n+a_{n-1}\text{(算术加)}\]

样例变换如下：

{bn}  1  1  1  0  0  1  0  1  1  1  0  0  1  0
{an} +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1
{cn}    +2 +2  0 -2  0  0  0 +2 +2  0 -2  0  0

性质

传递函数

相关编码器的传递函数为 \(H_{\mathrm{l}}(f)\)，即

\[\begin{aligned}H_{1}\left(f\right)&=1+\exp(-\mathrm{j}2\pi fT_{\mathrm{b}})\\&=[\exp(\mathrm{j}\pi fT_{\mathrm{b}})+\exp(-\mathrm{j}\pi fT_{\mathrm{b}})]\exp(-\mathrm{j}\pi fT_{\mathrm{b}})\\&=2\cos(\pi fT_{\mathrm{b}})\cdot \exp(-\mathrm{j}\pi fT_{\mathrm{b}})\end{aligned}\]

理想低通的传递函数为 \(H_2(f)\)，即

\[H_2(f)=\begin{cases}T_\mathrm{b}&\:|f|\leqslant\frac{1}{2T_\mathrm{b}}\\\\0&\:f\text{为其他值}\end{cases}\]

第一类部分响应系统的传递函数 \(H_{\mathrm{I}}(f)\) 为

\[\begin{aligned}H_{mathrm{I}}\left(f\right)&=H_{1}\left(f\right)\cdot H_{2}\left(f\right)\\&=\begin{cases}2\cos(\pi fT_\mathrm{b})\cdot\exp(-\mathrm{j}\pi fT_\mathrm{b})\cdot T_\mathrm{b}&|f|\leqslant\frac{1}{2T_\mathrm{b}}\\\\0&f\text{为其他值}&\end{cases}\end{aligned}\]

幅频、相频特性

可见第一类部分响应信号的幅频特性是平滑的降低到零，截止频率 \(W = \frac{1}{2 T_b}\)，相频特性是线性的，因而在具体实现时有可能用物理可实现的滤波器近似此频率特性。

冲激响应

该系统的冲激响应表示式为

\[ \begin{aligned} h_{mathrm{I}}(t)&=\frac{\sin\left(\frac{\pi t}{T_\mathrm{b}}\right)}{\frac{\pi t}{T_\mathrm{b}}}+\frac{\sin\frac{\pi(t-T_\mathrm{b})}{T_\mathrm{b}}}{\frac{\pi(t-T_\mathrm{b})}{T_\mathrm{b}}} \\ &=\frac{\sin\:\left(\frac{\pi t}{T_\mathrm{b}}\right)}{\frac{\pi t}{T_\mathrm{b}}}-\frac{\sin\:\left(\frac{\pi t}{T_\mathrm{b}}\right)}{\frac{\pi(t-T_\mathrm{b})}{T_\mathrm{b}}}=\frac{T_\mathrm{b}^2\sin\frac{\pi t}{T_\mathrm{b}}}{\pi t(T_\mathrm{b}-t)} \end{aligned} \]

由于该系统的冲激响应是两个时间间隔为 \(T_\mathrm{b}\) 的 \(\mathrm{sinc}\) 函数之和，因此，又称此响应为双二进信号脉冲，下图表示冲激响应\(h_{1}(t)\)。

在 \(t=nT_\mathrm{b}\) 时刻

\[h_{\mathrm{I}}(nT_{\mathrm{b}})=\begin{cases}1&n=0,1\\0&n\text{为其他值}\end{cases}\]

由上式可以看出，该系统在 \(t=nT_\mathrm{b}\) 采样时刻引入了受控的码间干扰。

值得注意的是 \(h_{\mathrm{I}}(t)\)的“尾巴”的振荡幅度按 \(1/t^2\) 衰减，而 \(\alpha=0\) 的升余弦滤波的冲激响应的“尾巴”是以 \(1/t\) 衰减，所以部分响应系统冲激响应的“尾巴”的振荡幅度衰减较快，因而可降低对定时误差的要求。

预编码

由于可能出现误码传播，可以采用预编码的方式避免。