数字脉冲幅度调制

本页面主要介绍数字脉冲幅度调制的定义和性质

数字脉冲幅度调制

定义

数字脉冲幅度调制（PAM）是以脉冲载波的幅度携带数字信息。

例如 MPAM 调制系统如下所示

MPAM

MPAM 信号的一般表示式可写为

\[s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ng_\text{ T}(t-nT_\text{s})\]

MPAM 信号波形也可表示为另一形式：

\[s_i( t) = a_ig_\text{ T}( t) \quad i= 1, 2, \cdotp \cdotp \cdotp , M \quad 0\leqslant t\leqslant T_s\]

式中 \(\{a_i,i=1,2\cdotp\cdotp\cdotp M\}\) 表示与 M 进制符号相对应的 M 个可能的离散幅度值。

对于 MPAM 来说，在 M 进制符号间隔 \(T_\mathrm{s}\) 内，每输入 K 个二进制符号，可映射为 M 个可能信号波形 \(s_i(t)\) 之一，而其中 MPAM 信号波形的形状由 \(g_{\mathrm{T}}(t)\) 决定。

功率谱密度计算

已知 PAM 信号数学表达式为：

\[s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_{n}g_{\mathrm{T}}(t-nT_{s})\]

假设二进制序列 \(\{ b_k\}\) 是广义平稳随机序列，所以与其相对应的 \(M\) 进制幅度序列 \(\left\{a_n\right\}\) 也是广义平稳随机序列。

\(s(t)\) 是 \(d(t)=\sum a_n\delta(t-nT_s)\) 通过滤波器 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) 的输出，可先求 \(d(t)\) 的功率谱密度。

设 \(\left\{a_n\right\}\) 的自相关函数为 \(R_{\mathrm{a}}\left(m\right)=E[a_na_{n+m}]\)。\(d\left(t\right)\) 的自相关函数为

\[\begin{aligned}R_{\mathrm{d}}(t,t+\tau)&=E\Big[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\delta(t-nT_{s})\bullet\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\delta(t+\tau-kT_{s})\Big]\\&=\sum_n\sum_kR_a(k-n)\delta(t-nT_s)\delta(t+\tau-kT_s)\end{aligned}\]

利用如下关系

\[\delta(x)\delta(x-y)=\delta(x)\delta(-y)\]

可得

\[ \begin{aligned} R_{\mathrm{d}}(t,t+\tau)&=\sum_{n}\sum_{k}R_{\mathrm{a}}(k-n)\delta(t-nT_{s})\delta(\tau+nT_{s}-kT_{s}) \\ &\overset{m=k-n}{\operatorname*{=}}\sum_n\sum_mR_\mathrm{a}(m)\delta(t-nT_s)\delta(\tau-mT_s) \\ &=\left(\sum\delta(t-nT_{s})\right)•\left(\sum R_{a}(m)\delta(\tau-mT_{s})\right) \end{aligned} \]

取时间平均，注意

\[\overline{\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)}=\frac1{T_s}\]

故 \(d(t)\) 的平均自相关函数为

\[\overline{R}_\mathrm{d}(\tau)=\frac{1}{T_\mathrm{s}}\sum_mR_\mathrm{a}(m)\delta(\tau-mT_\mathrm{s})\]

求傅氏变换并乘以 \(|G_{\mathrm{T}}(f)|^2\)，得到 \(s(t)\) 的功率谱密度为

\[P_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{m=-\infty}^{\infty}R_a(m)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi fmT_s}\mid G_\mathrm{T}(f)\mid^2\]

从上式可以看出，PAM 信号的功率谱密度取决于序列\(\{ a_n \}\)的自相关特性以及脉冲 \(g_T(t)\) 的频谱。

若 \(\{a_n\}\) 是零均值不相关序列，则 \(R_a(m)\) 简化为

\[R_\mathrm{a}(m)=E[a_na_{n+m}]=\begin{cases}\sigma_a^2,&m=0\\[2ex]0,&m\neq0\end{cases}\]

代入 \(P_s(f)\) 谱密度公式得

\[P_s(f)=\frac{\sigma_\mathrm{a}^2}{T_s}|G_\mathrm{T}(f)|^2\]

通常 \(G_{\mathrm{T}}(f)\) 是连续有界函数，因此当 \(\{a_n\}\) 是零均值不相关序列时，PAM 信号的功率谱密度是连续有界的，称为连续谱。

若 \(\{a_n\}\) 是均值不为零的不相关序列，可令

\[a_n=c_n+m_\mathrm{a}\]

其中 \(m_{\mathrm{a}}=E[a_{n}]\) 是 \(a_n\) 的均值，\(c_n=a_n-m_{\mathrm{a}}\)。此时

\[\begin{aligned}d\left(t\right)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(c_{n}+m_{\mathrm{a}}\right)\delta(t-nT_{\mathrm{s}})\\&=\sum_nc_n\delta\left(t-nT_s\right)+m_a\sum_n\delta\left(t-nT_s\right)\end{aligned}\]

由于 \(c_{n}\) 均值为零，方差为 \(\sigma_\mathrm{a}^2\)，故 \(\sum_nc_n\delta(t-nT_s)\) 的功率谱密度为 \(\dfrac{\sigma_\mathrm{a}^2}{T_\mathrm{s}}\)。

\(\sum_n\delta(t-nT_s)\) 是周期信号，可展开为

\[\sum_n\delta\left(t-nT_s\right)=\frac1{T_s}\sum_k\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi\frac k{T_s}t}\]

其功率谱密度为 \(\frac1{T_\mathrm{s}^2}\sum_k\delta\left(f-\frac k{T_\mathrm{s}}\right)\)。故此时 \(s(t)\) 的功率谱密度为

\[P_s(f)=\frac{\sigma_a^2}{T_s}\mid G_\mathrm{T}(f)\mid^2+\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum_k\left|G_\mathrm{T}\left(\frac{k}{T_s}\right)\right|^2\delta\Big(f-\frac{k}{T_s}\Big)\]

说明当 \(\{ a_n \}\) 是不相关序列时，如果均值不为零，PAM 信号功率谱密度除了有连续谱之外，还存在频率为 \(1 / T_s\) 整倍数的冲激分量，称为离散谱。功率谱密度中存在离散谱是因为 \(s(t)\) 中包含了一个确定的周期信号 \(m_\mathrm{a}\sum_ng_\mathrm{T}(t-nT_\mathrm{s})\)。