数字基带信号接收
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本页面主要介绍 2PAM 信号在加性白高斯噪声干扰下的最佳接收。
定义
上图为2PAM信号在加性白高斯噪声干扰下利用匹配滤波器及采样、判决器进行最佳接收的框图。
误比特率推导
假设：匹配滤波器的冲激响应 \(h(t)\) 与信号 \(s_1(t)\) 相匹配
\[h(t)=s_1(T_\text{b}-t)\quad0\leqslant t\leqslant T_\text{b}\]
在采样时刻 \(t=T_\mathrm{b}\),采样值中的有用信号是
\[\int_{-\infty}^{\infty}\begin{bmatrix}\pm\:s_{1}\left(\tau\right)\end{bmatrix}h\left(T_{\mathrm{b}}-\tau\right)\mathrm{d}\tau=\pm\int_{-\infty}^{\infty}s_{1}^{2}\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau=\pm\:E_{\mathrm{b}}\]
其中的 \(E_\mathrm{b}\) 称为比特能量。
高斯白噪声通过匹配滤波器后的输出是平稳高斯过程，采样时刻的噪声 \(Z\) 是零均值高斯随机变量，其方差为
\[\sigma^2=\frac{N_0}2E_\mathrm{h}=\frac{N_0}2E_\mathrm{b}\]
判决器输入的判决量为
\[y=\pm E_\mathrm{b}+Z\]
判决器比较 y 与 \(V_{\mathrm{T}}\) 的大小，如果比 \(V_\mathrm{T}\) 大则认为发送的是 \(s_1(t)\),否则认为发送的是 \(s_2(t)\)。假设发送 \(s_1(t)\) 和 \(s_2(t)\) 的概率相等。根据对称性，最佳门限应取为 \(V_{\mathrm{T}}=0\)。此时发送 \(s_2(t)\) 条件下判决出错的概率为
\[\begin{aligned}P(e\mid s_{2})&=P(y>0\mid s_{2})=P(-E_{\mathrm{b}}+Z>0)\\&=P(Z{>}E_{\mathrm{b}}){=}\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\Big(\frac{E_{\mathrm{b}}}{\sqrt{2\sigma^{2}}}\Big)\\&=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{\mathrm{b}}}{N_{0}}}\right)\end{aligned}\]
根据对称性有 \(P(e|s_1)=P(e|s_2)\),平均误比特率为
\[P_\mathrm{b}=\frac12\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\mathrm{b}}{N_\mathrm{o}}}\right)\]
双极性不归零码
平均误比特率为
\[P_\mathrm{b}=\frac12\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\mathrm{b}}{N_\mathrm{0}}}\right)\]
单极性不归零码
\[s_i(t)=\begin{cases}s_1(t)=+A\\\\s_2(t)=0\end{cases}\quad0\leqslant t\leqslant T_\mathrm{b}\]
判决器的判决量将变成
\[y=a+Z\]
其中 \(a\in\left\{E_1,0\right\}\) 分别对应发送 \(s_1(t)\) 或 \(s_2(t)\)，\(E_1\) 是 \(s_1(t)\) 的能量。注意此时 \(s_2(t)\) 的能量是 0,平均比特能量是\(E_\mathrm{b}=E_1/2\)。
判决门限应取为\(E_{\mathrm{i}}\) 和 0 的中点，即 \(V_\mathrm{T}=E_1/2=E_\mathrm{b}\)。此时可推出平均误比特率为
\[P_\text{b}=\frac12\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\text{b}}{2N_0}}\right)\]
双极性归零码
发送单个比特时的两个波形为
\[s_i\left(t\right)=\begin{cases}s_1\left(t\right)=+g\left(t\right)\\\\s_2\left(t\right)=-g\left(t\right)\end{cases}\]
其中脉冲 \(g(t)\)的能量是 \(E_\mathrm{g}\),平均比特能量是 \(E_\mathrm{b}=E_\mathrm{g}\)。匹配滤波器冲激响应为
\[h(t)=g(t_0-t)\]
其中 \(t_{0}\) 是采样时刻。平均误比特率为
\[P_\mathrm{b}=\frac12\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\mathrm{b}}{N_\mathrm{0}}}\right)\]
注意匹配滤波器接收时，误比特率公式与脉冲 \(g(t)\) 的具体形状无关，只与 \(E_\mathrm{b}/N_0\) 有关。
单极性归零码
发送单个比特时的两个波形是
\[s_i\left(t\right)=\begin{cases}s_1\left(t\right)=+g\left(t\right)\\\\s_2\left(t\right)=0\end{cases}\]
可推导出平均误比特率为
\[P_\text{b}=\frac12\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_\text{b}}{2N_0}}\right)\]
其中 \(E_\mathrm{b}=E_\mathrm{g}/2\)。在相同 \(E_\mathrm{b}/N_\mathrm{o}\) 条件下，双极性信号的平均误比特率比单极性的小。
图表
