同相和正交分量

前置知识：复包络

本页面主要介绍同相分量、正交分量的定义和性质

定义

\(x(t)\) 的同相分量和正交分量分别是其复包络 \(x_L(t)\) 的实部与虚部

\[ \begin{aligned} x_{\mathrm{c}}(t)=\mathrm{Re}\{x_{\mathrm{L}}(t)\}=\frac{x_{\mathrm{L}}(t)+x_{\mathrm{L}}^{*}(t)}{2} \\ x_{\mathrm{s}}(t)=\mathrm{Im}\{x_{\mathrm{L}}(t)\}=\frac{x_{\mathrm{L}}(t)-x_{\mathrm{L}}^{*}(t)}{2\mathrm{j}} \end{aligned} \]

性质

自相关函数

\[R_{\mathrm{c}}\left(\tau\right)=R_{\mathrm{s}}\left(\tau\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left\{R_{\mathrm{L}}\left(\tau\right)\right\}\]

\[R_{\mathrm{cs}}\left(\tau\right)=R_{\mathrm{sc}}\left(-\tau\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Im}\left\{R_{\mathrm{L}}\left(\tau\right)\right\}\]

功率谱密度

\(R_{\mathrm{L}}(\tau)\) 的傅氏变换是 \(P_\mathrm{L}(f)\)，\(R_\mathrm{L}^*(\tau)\) 的傅氏变换是 \(P_\mathrm{L}(-f)\)，\(\mathrm{Re}\left\{R_\mathrm{L}(\tau)\right\}=\frac12\left[R_{\mathrm{L}}(\tau)+R_{\mathrm{L}}^{*}(\tau)\right]\)，故 \(x_\mathrm{c}(t),x_\mathrm{s}(t)\) 的功率谱密度为

\[ \begin{aligned} P_{\mathrm{c}}(f)&=P_{\mathrm{s}}(f)=\frac{1}{4}[P_{\mathrm{L}}(-f)+P_{\mathrm{L}}(f)] \\ &=\begin{cases}P_x\left(f+f_c\right)+P_x\left(f-f_c\right),&|f|<f_c\\0,&|f|>f_c\end{cases} \end{aligned} \]

说明 \(x_{\mathrm{c}}(t),x_{\mathrm{s}}(t)\) 的功率谱密度是 \(x(t)\)功率谱密度的正频率部分左移 \(f_{\mathrm{c}}\)，负频率部分右移 \(f_{\mathrm{c}}\) 后叠加而成的。

对功率谱积分可得到 \(x_\mathrm{c}(t),x_\mathrm{s}(t)\) 的功率为（约定 \(x(t)\) 频谱在 \([-2 f_c, 2 f_c]\) 内）

\[ \begin{aligned} E[x_\mathrm{c}^2(t)\:] &=E[x_\mathrm{s}^2(t)\:]=\int_{-f_\mathrm{c}}^{f_\mathrm{c}}P_x(f+f_\mathrm{c})+P_x(f-f_\mathrm{c})\:\mathrm{d}f \\ &=\int_{0}^{2f_{\mathrm{c}}}P_{n}(f)\mathrm{d}f+\int_{-2{f_c}}^0 P_{n}(f)\mathrm{d}f \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}P_x(f)\mathrm{d}f=E[n^2(t)] \end{aligned} \]