跳转至

匹配滤波器

前置知识:高斯白噪声

本页面主要介绍匹配滤波器的定义和性质

定义

匹配滤波器

对原始信号匹配

输入的有用信号为 \(s(t)\),干扰信号为高斯白噪声 \(n_w(t)\),若滤波器的冲激响应

\[h(t) = K s(t_0 - t)\]

\(K\) 为任意非零系数,则该滤波器为对 \(s(t)\) 匹配的匹配滤波器

其传递函数为:

\[H(f)=KS^*(f)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft_0}\]

Tip

设计 \(s(t)\) 的匹配滤波器时,\(K\)\(t_0\) 这两个参数原则上可以任意选取。为了方便分析,\(K\) 一般取 1 或者取为 \(\frac1{\sqrt{E}}\) 以使 \(h(t)\) 的能量归一化。\(t_0\) 代表时延,如果不需要考虑因果性,可取 \(t_0=0\);需要考虑因果性时,可取 \(t_0\) 为能使 \(h(t)\) 满足因果性的最小值。

滤波器输出波形为

\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}Ks\left(t_0-\tau\right)s\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau=KR_s\left(t-t_0\right)\]

其中 \(R_s(\tau)\)\(s(t)\) 的自相关函数。由此可见匹配滤波器相当于一个滑动相关器,当 \(t=t_0\) 时输出达到最大。

对复包络匹配

\(s(t)\) 是带通信号,则图中的滤波器是一个带通滤波器。设 \(s(t)\)的复包络是 \(s_{\mathrm{L}}(t)\),带通滤波器的等效基带冲激响应是 \(h_\mathrm{e}(t)\)

\[h_\mathrm{e}(t)=K \cdot s_\mathrm{L}^*(t_0-t)\]

若其中 \(K\) 是任意系数,则称此带通滤波器对 \(s(t)\) 的复包络匹配。

滤波器输出信号的复包络为

\[y_{\mathrm{L}}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}Ks_{\mathrm{L}}^{*}\:(t_{0}-\tau)s_{\mathrm{L}}(t-\tau)\:\mathrm{d}\tau=KR_{\mathrm{L}}(t-t_{0})\]

其中 \(R_{\mathrm{L}}(\tau)\) 是复包络 \(s_\mathrm{L}(t)\) 的自相关函数。在时刻 \(t=t_0\) 采样时,复包络的模,也即 \(y(t)\) 的包 络达到最大值 \(| KR_{\mathrm{L}}(0)|=| K| E_{\mathrm{L}}\),其中 \(E_\mathrm{L}\) 是复包络 \(s_\mathrm{L}(t)\) 的能量。

输出带通信号为

\[y(t)=\mathrm{Re}\left\{KR_{\mathrm{L}}\left(t-t_{0}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f_{\mathrm{c}}t}\right\}\]

\(K=a\mathrm{e}^{j\theta}\),则采样时刻的值为 \(y(t_0)=E_1\cos\left(2\pi f_\text{c}t_0+\theta\right)\)。对复包络匹配的滤波器能 保证采样时刻的包络 \(|y_{\mathrm{L}}(t_0)|\) 最大,但不保证输出带通信号的瞬时值 \(|y(t_0)|\) 最大。

性质

采样时刻信噪比

假设 \(s(t)\) 的能量是 \(E_s\)\(h(t)\)的能量是 \(E_h\)。在任意时刻,输出噪声的平均功率都是\(\dfrac{N_0}2E_h\)

在采样时刻 \(t_0\),输出的有用信号为

\[y\left(t_0\right)=\int_{-\infty}^\infty h\left(\tau\right)s\left(t_0-\tau\right)\mathrm{d}\tau \]

采样时刻的瞬时信噪比为

\[\gamma=\frac{y^2\left(t_0\right)}{E\left[n^2\left(t_0\right)\right]}=\frac{2E_s}{N_0}\cdot\left[\int_{-\infty}^\infty\frac{h\left(\tau\right)}{\sqrt{E_h}}\cdot\frac{s\left(t_0-\tau\right)}{\sqrt{E_s}}\mathrm{d}\tau\right]^2\]

从上式中可以看出以下两点:

  1. 滤波器的绝对增益不影响输出信噪比。将 \(h(t)\) 变成 \(Kh(t)\) 后,\(\sqrt{E_h}\) 也变成了 \(K\sqrt{E_h}\),瞬时信噪比的结果不变。

  2. 若令 \(h(t)=s(t_0-t)\),则上式中的积分达到最大值(许瓦兹不等式),因此采样点信噪比最大是

    \[\gamma_{\max}=\frac{2E_s}{N_0}\]

    达到最大信噪比的条件是:

    \[h\left(t\right)=Ks\left(t_0-t\right)\]

    其中 \(K\) 是任意系数。该条件既是对原始信号匹配的匹配滤波器的性质,也是其定义的来源。