狄里赫利条件

本页面主要介绍狄里赫利条件（Dirichlet conditions）的定义

定义

设 \(f\) 为一个在\(\mathbb{R}\)上的周期性的局部可积函数，其周期为\(2\pi\)。给定 \(x_0\in\mathbb{R}\),假设有以下条件成立：

1.函数\(f\)在\(x_0\)处有左极限和右极限，分别记为\(f(x_0^+)\)和\(f(x_0^-)\)。

2.存在正实数：\(\alpha>0\),使得以下的两个积分收敛：

\[\int_0^\alpha\frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}t\mathrm{d}t,\quad\int_0^\alpha\frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}t\mathrm{d}t\]

那么，函数\(f\)的傅里叶级数在\(x_{0}\)处收敛，并且有：

\[\lim_n(S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-))\]

定理成立的一个特例是当函数 \(f\) 在\(x_{0}\) 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段\(\mathcal{C}^{1}\) 函数的时候。¹