正交函数
前置知识：函数内积
本页面将简要介绍正交函数与完备正交函数集的定义及代表性函数三角函数的性质。
正交函数定义
对于函数 f(x), g(x)，如果两者的内积 \(\langle f, g \rangle = 0\)，则 f(x) 和 g(x) 是正交的。
完备正交函数集定义
在一个函数构成的集合中，任意两个函数之间是正交的，并且任意函数 f 都可以被这些函数 \(\varphi_r\) 所表示
\[f( t )=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=1}^nC_r\varphi_r( t )\]
三角函数的内积
\[\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx) \cos(nx) dx=0,\quad m,n\geq0,m\neq n, (a)\]
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx) \sin(nx) dx=0,\quad m,n\geq1,m\neq n, (b)\]
\[\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx) \sin(nx) dx=0,\quad m\geq0,n\geq1. (c)\]
根据内积定义式，正弦或余弦函数间的乘积的积分值就抵消了。1
定理：余弦函数和正弦函数可以组成一个正交函数集，其中不同的函数互相正交，可以组合表示所有实数函数。