希尔伯特变换

本页面主要介绍希尔伯特变换的定义和性质

定义

希尔伯特变换（Hilbert transform），描述一个实信号，通过冲激响应为 \(\dfrac{1}{\pi t}\) 系统，所产生的信号变换。记为 \(\hat{x}(t)\)。

时域上信号变换为：

\[ \overset{\wedge}{\operatorname*{x}}\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\left(t-u\right)}{\pi u}\mathrm{d}u \]

频谱上信号变换为：

\[ \overset{\wedge}{\operatorname*{\operatorname*{X}}}(f)=-\mathrm{jsign}(f)X(f) \]

性质

1. \(\hat{x}(t)\) 同 \(x(t)\) 具有着相同的能量谱密度或功率谱密度，自相关函数相同。

2. \(\hat{x}(t)\) 同 \(x(t)\) 正交。