傅里叶级数
前置知识（用于严格证明，通常可略）：正交函数，狄里赫利条件
本页面将简要介绍傅里叶级数（Fourier series）的定义和性质。
定义
正弦-余弦形式
对于一个周期信号
\[f(t) = f(t+nT), n \in \mathbb{Z}\]
T 是其周期，周期倒数即为周期信号的频率 \(f = \dfrac{1}{T}\)
其傅里叶级数为
\[f(t)\sim A_0 +\sum_{n=1}^\infty\left(A_n\cos\left(\frac{2\pi nt}T\right)+B_n\sin\left(\frac{2\pi nt}T\right)\right)\]
系数为
\[
\begin{array}{rlr}
A_0 & =\frac{1}{T} \int_P f(t) d t & \\
A_n & =\frac{2}{T} \int_P f(t) \cos \left(\frac{2 \pi n t}{T}\right) d t & \text { for } n \geq 1 \\
B_n & =\frac{2}{T} \int_P f(t) \sin \left(\frac{2 \pi n t}{T}\right) d t & \text { for } n \geq 1
\end{array}
\]
通常，选定区间T为\([-T/2,T/2]\)或者\([0,T]\)
指数形式
借由欧拉公式 \(\mathrm{e}^{jx}=\cos x+j\sin x\)，将傅里叶级数系数简化成复数指数形式。
\[f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\cdot \mathrm{e}^{\frac{2\pi jnt}T}\]
系数为
\[c_n=\frac{1}{T}\int_Tf(t)\mathrm{e}^{-\frac{2\pi j n t}{T}} dt\quad\text{ for }n\in\mathbb{Z}\]
或者，将 \(c_n\) 表示为 \(F(n, \omega)\)，其中 \(\omega = \dfrac{2 \pi}{T}\)。
\[
F(n, \omega) = \frac{1}{T}\int_Tf(t)\mathrm{e}^{-{ j \omega n t}} dt\quad\text{ for }n\in\mathbb{Z}
\]
抑或是将 \(c_n\) 表示为 \(F(n, f)\)，其中 \(f = \dfrac1T\)
\[
F(n, f) = \frac{1}{T}\int_T f(t) \mathrm{e}^{-{j 2 \pi f n t}} dt\quad\text{ for }n\in\mathbb{Z}
\]
三种形式根据使用参量不同而改变表面形式，因此以上三种形式的系数完全等效
两者系数关系
从正弦-余弦形式转换到指数形式
\[
\begin{array}{ll}
c_0=A_0 & \\
c_n=\left(A_n-j B_n\right) / 2 & \text { for } n>0 \\
c_n=\left(A_{-n}+j B_{-n}\right) / 2 & \text { for } n<0
\end{array}
\]
从指数形式转换到正弦-余弦形式
\[
\begin{array}{ll}
A_0=c_0 & \\
A_n=c_n+c_{-n} & \text { for } n>0 \\
B_n=j\left(c_n-c_{-n}\right) & \text { for } n>0
\end{array}
\]
性质
以下性质均以指数形式为基础
时移性质
现有周期信号 \(f(t)\)，傅里叶级数系数为 \(F(n, \omega)\)，如果 \(f(t)\) 以时间轴增加方向移动 \(\tau\) 时间（\(\tau\) 为任意常数），则移动后函数 \(f(t - \tau)\) 的傅里叶级数系数为：
\[
F(n, \omega) = F(n, \omega) \mathrm{e}^{-j n \omega \tau}
\]
证明
根据指数形式傅里叶系数定义式
\(\(F(n, \omega) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{r}{2}}^{\frac{T}{2}}f(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_1t}\mathrm{d}t\)\)
代入 \(f(t - \tau)\) 化简可得
\[
\begin{aligned}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(\:t\:-\:\tau\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\:\mathrm{d}t&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}-\tau}^{\frac{T}{2}-\tau}f(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}(\:t\:+\:\tau\:)}\:\mathrm{d}t\\&=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}\tau}\:\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}-\tau}^{\frac{T}{2}-\tau}f(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\:\mathrm{d}t\end{aligned}
\]
由于积分式恰为周期信号 \(f(t)\) 的一个周期内，积分结果与 \(f(t)\) 的傅里叶系数定义式相同，所以可以表示为
\[
f(t-\tau)\Leftrightarrow F(n, \omega)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_1\tau}
\]
证毕
微分性质
现有周期信号 \(f(t)\)，傅里叶级数系数为 \(F(n, \omega)\)，如果 \(f(t)\) 对 \(t\) 求 n 次导数，则求导后函数 \(\dfrac{\mathrm{d}^n f(t)}{\mathrm{d} t^n}\) 的傅里叶级数系数为：
\[
(j n \omega)^n \: F(n, \omega)
\]
证明
使用分部积分
\[
\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{\mathrm{d}f(\:t\:)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\Big[f(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\Big|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\Big]-\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(\:t\:)\:(\:-\mathrm{j}n\omega_{1}\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t
\]
对于周期信号 \(f\left(\frac T2\right)=f\left(-\frac T2\right)\) ，上式第一项为 0，所以有
\[
\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f^{\prime}(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t=(\:\mathrm{j}n\omega_{1}\:)\:F(\:n\omega_{1}\:)
\]
同理
\[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f^{\:\prime\prime}(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t=(\:\mathrm{j}n\omega_{1}\:)^{2}A(\:n\omega_{1}\:)\]
推广可得 n 次求导通式：
\[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f^{(\:n\:)}\left(\:t\:\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t=(\:\mathrm{j}n\omega_{1}\:)^{n}F(\:n\omega_{1}\:)\]
函数对称性质的影响
奇谐、偶谐
若波形满足 \(f(t)=-f\left(t\pm\frac{T_1}{2}\right)\)，则称为半波对称函数或称为奇谐函数，如下图所示。
若波形满足 \(f(t)=f\left(t\pm\frac{T_1}{2}\right)\)，则称为偶谐函数，如下图所示。
-
若信号波形是偶函数，即满足 \(f(t)=f(-t)\)，则傅里叶级数不含正弦项，仅含有直流项和余弦项，指数形式下的傅里叶级数则为实数序列。
-
若信号波形是奇函数，即满足 \(f(t)= - f(-t)\)，则傅里叶级数不含余弦项，仅含有直流项和正弦项，指数形式下的傅里叶级数则为虚数序列。
-
若信号波形是奇谐函数，则傅里叶级数不含偶数次项，仅含有直流项和奇数次项。
-
若信号波形是奇谐函数，则傅里叶级数不含直流项和偶数次项，仅含有奇数次项，大于 1 的奇数次项描述的是奇次谐波的特性，所以因此得名“奇谐”。
-
若信号波形是偶谐函数，则傅里叶级数不含奇数次项，仅含有直流项和偶数次项，由于 \(n = 2\) 的项成为了新的基波，级数等效于 \(T / 2\) 情况下的傅里叶级数，所以“偶谐”没有含义，只是一种对称的命名方式。