傅里叶变换

本页面主要介绍傅里叶变换的定义、性质和常用傅里叶变换对。

定义

观察指数形式傅里叶级数的定义：

\[ F(n, \omega) = \frac{1}{T}\int_T f(t)\mathrm{e}^{-{ j \omega n t}} dt\quad\text{ for }n\in\mathbb{Z} \]

其中相邻傅里叶级数之间的角频率差值是固定的，都是 \(\omega\)，随着周期 \(T\) 的增大，角频率间隔 \(\omega = \dfrac{2 \pi}{T}\) 的值不断减小，每个傅里叶级数也均会趋于无穷小。可以发现，对于非周期信号，其傅里叶级数是无穷多个幅度为无穷小的频率分量构成，无法用傅里叶级数对非周期信号进行频谱分析。

所以，为了让频谱数值能够在合适的范围内，对傅里叶级数乘上周期 \(T\)，可以得到：

\[ T \cdot F(n, \omega)=\frac{F(n, \omega)}{1/T}=\frac{F(n, \omega)}{f}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega n t}\mathrm{d}t \]

当 \(T \to \infty\)，则 \(\omega \to \mathrm{d} \omega\)，定义新的 \(n \cdot \mathrm{d} \omega\) 为连续的 \(\omega\) 自变量，可得连续函数 \(F(\omega)\)：

\[ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \]

至此，得到 \(F(\omega)\)，称为频谱密度函数，简称频谱函数。

为了书写方便，通常使用符号 \(\mathscr{F}\) 表示傅里叶变换，\(\mathscr{F}^{-1}\) 表示傅里叶反变换：

从时域信号 \(f(t)\) 计算傅里叶变换 \(F(\omega)\)，即频域信号：

\[ F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \]

从频域信号 \(F(\omega)\) 计算傅里叶反变换，即计算时域信号：

\[ f(t)=\mathscr{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \]

以上的这一对时域信号 \(f(t)\) 与频域信号 \(F(\omega)\) 构成一对傅里叶变换对，符号表示为

\[ f(t) \leftrightarrow F(\omega) \]

此外，其也可以用三角函数形式表示，由于使用频率较低，暂时不提及。（若有完整内容，请参与修改补充）

性质

线性性质

若 \(f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega)\)，\(f_2(t) \leftrightarrow F_2(\omega)\)，则时域 \(f_1(t)\) 同 \(f_2(t)\) 线性组合的傅里叶变换为频域 \(F_1(\omega)\) 同 \(F_2(\omega)\) 的线性组合（\(c_1\)，\(c_2\) 为任意常数）：

\[ c_1f_1\left(t\right)+c_2f_2\left(t\right)\leftrightarrow c_1F_1\left(\omega\right)+c_2F_2\left(\omega\right) \]

证明

\[ \begin{aligned} \mathscr{F}[c_{1}f_{1}\left(t\right)+c_{2}f_{2}\left(t\right)] & =\int_{-\infty}^{\infty}\left[c_{1}f_{1}\left(t\right)+c_{2}f_{2}\left(t\right)\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \\ & =c_{1}\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+c_{2}\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \\ & =c_{1}F_{1}\left(\omega\right)+c_{2}F_{2}\left(\omega\right) \end{aligned} \]

对称性质

若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)，则频域信号做傅里叶变换的结果恰好为：

\[ F(t)\leftrightarrow2\pi f( - \omega) \]

Warning

注意是频域信号做傅里叶变换的结果，其结果数值上等于 \(2 \pi f(\omega)\)，与傅里叶变换对的定义无关

证明

根据反变换公式：

\[ f(\:t\:)=\frac{1}{2\:\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\:\omega\:)\:\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\:\mathrm{d}\omega \]

替换自变量 \(t\) 为 \(-t\)

\[ f(\:-\:t\:)=\frac{1}{2\:\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\:\omega\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\:\mathrm{d}\omega \]

将上式中的变量 \(t\) 替换成 \(\omega\)，把 \(\omega\) 替换成 \(t\)，积分结果不变，同时乘 \(2 \pi\) 即可得

\[ 2\pi f(\:-\:\omega\:)=\int_{-\infty}^\infty F(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\:\mathrm{d}t \]

右侧式子即为 \(F(t)\) 求解傅里叶变换的定义式，由此可证

尺度变换特性

若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)，则取任意非零实数 \(a\)，压缩时间轴到原来的 \(1 / a\)，有：

\[ f(at)\leftrightarrow\frac{1}{\mid a\mid}F{\left(\frac{\omega}{a}\right)} \]

可见，时域上时间轴压缩，频域上频率轴则会展宽

证明

由傅里叶变换可得

\[ \mathscr{F}\left[f(at)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(at)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t \]

(1) 若 \(a>0\)，令 \(x=at,t=\dfrac xa,\mathrm{d}t=\dfrac{\mathrm{d}x}a\)，则

\[\mathscr{F}\left[f(\:at\:)\:\right]=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(\:x\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{x}{a}}\mathrm{d}x\:=\:\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\]

(2) 若 \(a<0\)，即 \(a=-|a|\)，令 \(x=at=-|a|t,t=\dfrac{x}{a}=-\dfrac{x}{|a|},\mathrm{d}t=-\dfrac{\mathrm{d}x}{|a|}\)，则

\[\mathscr{F}\left[f(\:at\:)\:\right]=\dfrac{-1}{\mid a\mid}\int_{+\infty}^{-\infty}f(\:x\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{x}{a}}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\mid a\mid}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\:x\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{x}{a}}\mathrm{d}x\:=\:\dfrac{1}{\mid a\mid}F\Big(\dfrac{\omega}{a}\Big)\]

综上两种情况，\(\mathscr{F}[f(at)]=\dfrac1{\mid a\mid}F(\dfrac\omega a)\)得证。

时移性质

若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)，如果 \(f(t)\) 以时间轴增加方向移动 \(t_0\) 时间（\(t_0\) 为任意常数），则移动后函数 \(f(t - t_0)\) 的傅里叶变换为：

\[ f(t-t_0)\leftrightarrow F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0} \]

证明

根据傅里叶变换定义式：

\[\mathscr{F}[f(t-t_{0})]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-t_{0})\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\mathrm{d}t\]

令 \(t-t_{0}=x\) ：

\[\mathscr{F}[f(t-t_{0})]=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega(x+t_{0})}\mathrm{d}x=F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\]

频移性质

若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)，如果 \(F(\omega)\) 以频率轴增加方向移动 \(\omega_0\) 角频率（\(\omega_0\) 为任意常数），则移动后函数 \(F(\omega - \omega_0)\) 的傅里叶反变换为：

\[ f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t_0}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) \]

证明

\[ \begin{aligned} \mathscr{F}\left[f\left(t\right)\mathrm{e}^{j\omega_{0}t}\right] & =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t \\ & =F(\omega-\omega_{0}) \end{aligned} \]

时域微分性质

若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)，如果 \(f(t)\) 对 \(t\) 求 n 次导数，则求导后函数 \(\dfrac{\mathrm{d}^n f(t)}{\mathrm{d} t^n}\) 的傅里叶变换为：

\[ \frac{\mathrm{d}^n f(t)}{\mathrm{d}t}\leftrightarrow(\mathrm{j}\omega)^n \: F(\omega) \]

证明

证明：由傅里叶反变换定义式得

\[f(\:t\:)=\frac{1}{2\:\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\:\omega\:)\:\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\:\mathrm{d}\omega \]

将等式两端对 \(t\) 求导，则有

\[\frac{\mathrm{d}f(\:t\:)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2\pi}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\:\int_{-\infty}^{\infty}F(\:\omega\:)\:\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\:\mathrm{d}\omega \]

变换微分和积分的次序，可得

\[\frac{\mathrm{d}f(\:t\:)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2\:\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{j}\omega F(\:\omega\:)\:\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\:\mathrm{d}\omega \]

因此有

\[\frac{\mathrm{d}f(\:t\:)}{\mathrm{d}t}\leftrightarrow(\:\mathrm{j}\omega\:)\:F(\:\omega\:)\]

对于 \(n\) 阶导数，可推广得到：

\[\frac{\mathrm{d}^nf(t)}{\mathrm{d}t^n}\leftrightarrow(\mathrm{j}\omega)^nF(\omega)\]

频域微分性质

若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\)，如果 \(F(\omega)\) 对 \(\omega\) 求 n 次导数，则求导后函数 \(\dfrac{\mathrm{d}^n F(\omega)}{\mathrm{d} \omega^n}\) 的傅里叶反变换为：

\[ (-\mathrm{j}t)^nf(t)\leftrightarrow\frac{\mathrm{d}^nF(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n} \]

证明

由傅里叶反变换定义：

\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\]

两端对 \(\omega\) 求导：

\[\frac{\mathrm{d}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}-\mathrm{j}tf(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\]

右侧即为 \(-\mathrm{j} t f(t)\) 的傅里叶变换定义式，所以：

\[-\mathrm{j}tf(t)\leftrightarrow\frac{\mathrm{d}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega}\]

对于 \(n\) 阶导数，可推广得到：

\[(-\mathrm{j}t)^nf(t)\leftrightarrow\frac{\mathrm{d}^nF(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n}\]

卷积定理

时域卷积定理

若 \(f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega)\)，\(f_2(t) \leftrightarrow F_2(\omega)\)，则 \(f_1(t)\) 同 \(f_2(t)\) 卷积后时域结果的傅里叶变换为：

\[ f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega) \]

证明

\[\begin{aligned} \mathscr{F}[f_{1}(t)*f_{2}(t)] & =\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-j\omega t}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}\left(\tau\right)f_{2}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}t \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}\left(\tau\right)\left[\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}f_{2}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\tau \end{aligned}\]

由时移性质可以化简方括号内结果为 \(F_2(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \tau}\)，因此可得：

\[\mathscr{F}\left[f_1\left(t\right)*f_2\left(t\right)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f_1\left(\tau\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}F_2\left(\omega\right)\mathrm{d}\tau=F_1\left(\omega\right)F_2\left(\omega\right)\]

频域卷积定理

若 \(f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega)\)，\(f_2(t) \leftrightarrow F_2(\omega)\)，则频域 \(F_1(\omega)\) 同 \(F_2(\omega)\) 卷积后频域结果的傅里叶反变换为：

\[ f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) \]

证明

\[\mathscr{F}\left[f_1\left(t\right)f_2\left(t\right)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\left[f_1\left(t\right)f_2\left(t\right)\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\]

代入 \(f_1\left(t\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_1\left(\omega\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\)，以虚设变量 \(u\) 置换上式的 \(\omega\)，可得

\[\begin{aligned} \mathscr{F}\left[f_{1}\left(t\right)f_{2}\left(t\right)\right] & =\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}\left(u\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}ut}\mathrm{d}u\right]\mathrm{d}t \\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}\left(u\right)\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(\omega-u\right)t}\mathrm{d}t \\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}\left(u\right)F_{2}\left(\omega-u\right)\mathrm{d}u \\ & =\frac{1}{2\pi}[F_{_1}(\omega)*F_{_2}(\omega)] \end{aligned}\]

证毕

帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理（Parseval's theorem）¹ 表明了频域和时域的平方求和相同，对于傅里叶级数与傅里叶变换均成立。

对于傅里叶级数：

\[P=\overline{f^2(t)}=c_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid F_n\mid^2\]

对于傅里叶变换：

\[\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)\right|^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|F(\omega)\right|^2\mathrm{d}\omega\]

或者使用频率 \(f\) 作为频域的自变量

\[\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)\right|^2\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}\left|F(f)\right|^2\mathrm{d}f\]

常用傅里叶变换对

非周期函数

单位冲激信号

\[ \delta(t) \leftrightarrow 1 \]
单位阶跃信号

\[ u(t) \leftrightarrow \pi \delta (\omega) + \frac1{\mathrm{j} \omega} \]
Sa 函数

Sa 函数为抽样函数，定义式为：

\[\mathrm{Sa}(t) = \frac{\sin t}{t}\]

矩形脉冲定义为：

\[ \left.\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)=\Pi\left(\frac{t}{\tau}\right)=\left\{ \begin{array} {ll}0, & \mathrm{if~}|t|>\frac{\tau}{2} \\ \frac{1}{2}, & \mathrm{if~}|t|=\frac{\tau}{2} \\ 1, & \mathrm{if~}|t|<\frac{\tau}{2}. \end{array}\right.\right. \]

Info

矩形脉冲做傅里叶变换得到 \(E \tau \mathrm{Sa}(\frac{\omega \tau}{2})\) 的图像为

傅里叶反变换

\[E \: \mathrm{rect}(\frac{t}{\tau}) \leftrightarrow E \tau \mathrm{Sa}(\frac{\tau \omega}{2}) \]

傅里叶变换

\[\mathrm{Sa} \frac{\tau}2t \leftrightarrow \frac{2 \pi}{\tau} \mathrm{rect}(\frac\omega\tau)\]
sinc 函数

sinc 函数或名辛格函数，定义式为：

\[\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\]

傅里叶反变换

\[\frac{S}{T} \mathrm{rect}(\frac{t}{T}) \leftrightarrow S \cdot \mathrm{sinc}(f T)\]

傅里叶变换

\[S \cdot \mathrm{sinc}(2 W t) \leftrightarrow \frac{S}{2W} \mathrm{rect} (\frac{f}{2 W})\]
单边指数信号

\[ f(t)= \begin{cases} E\mathrm{e}^{-\alpha t} & (t\geqslant0) \\ 0 & (t<0) & \end{cases} \]

\[ f(t) \leftrightarrow \frac{E}{\alpha+\mathrm{j}\omega} \]
直流分量

\[E \leftrightarrow 2 \pi \delta(\omega)\]
符号函数

\[\mathrm{sgn}(t) \leftrightarrow \frac2{\mathrm{j} \omega}\]
反比例函数

\[\frac1t \leftrightarrow -\mathrm{j} \pi \mathrm{sgn}(\omega)\]
冲激偶

\[\delta'(t) \leftrightarrow \mathrm{j} \omega\]

周期函数

Sin 函数

\[\sin\omega_0t \leftrightarrow -\mathrm{j}\pi[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\]
Cos 函数

\[\cos \omega_0 t \leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\]

参考资料与注释

Wikipedia-帕塞瓦尔定理 ↩